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形象解说四元数 By daode1212 2016-03-16 前言: 四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。四元数四元数的乘法不符合交换律（commutative law） 四元数理论创立人：William Rowan Hamilton,1805-1865 一，四元数的几种表示形式: OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式： public Quaternion(float x, float y, float z, float w)； public Quaternion(OpenTK.Vector3 v, float w)； 例如用Quaternion(float x, float y, float z, float w)： OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(0.51f, -0.71f, 0.31f, 0.7071f); 1, 四元数建构方式一： ?? ?i^2=j^2=k^2=-1?? ?ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j q=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1) 2, 四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦： 3, 四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点： 二，四元数的OpenTK中有: 1, q.Length; 返回值是: 2, q.LengthSquared; 返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。 三，四元数的 四元数建构方式二、方式三在这方面有明显优势。 四，四元数的S=(q+q*)/2； 2、四元数的向量部：V=(q-q*)/2； 五，四元数的四元数的bool b = q2.Equals(q1); 七，四元数的 Multiply( q,*) 加法的定义： public static OpenTK.Quaternion Add(OpenTK.Quaternion left, OpenTK.Quaternion right) 减法的定义： public static OpenTK.Quaternion Sub(OpenTK.Quaternion left, OpenTK.Quaternion right) 乘法有二种： public static OpenTK.Quaternion Multiply(OpenTK.Quaternion quaternion, float scale) public static OpenTK.Quaternion Multiply(OpenTK.Quaternion left, OpenTK.Quaternion right) 注意，乘法没有交换律：q2*q1 != q1*q2 乘法的定义和数学算法如下： 例如： 四元数与标量相乘，是对原四元数在正方向或反方向进行伸缩： OpenTK.Quaterniond q2 = OpenTK.Quaterniond.Multiply(q1, 0.5f); //q1*0.5 四元数与四元数相乘，是两种旋转的叠加作用： OpenTK.Quaterniond q3 = OpenTK.Quaterniond.Multiply(q2, q1); //q2*q1 q3 = q1·q2 = (a1a2-b1b2-c1c2-d1d2) +????? i(a1b2+b1a2+c1d2-d1c2) +????? j(a1c2+a2c1+b2d1-d2b1) +????? k(a1d2+d1a2+b1c2-c1b2) 四元数与四元数相乘是不容易心算的游戏，就方向的变化也很难摸准，见下例： //向量连乘效果图： private void QuatMults() //向量连乘效果图 { qs[0] = new OpenTK.Quaternion(.5f, -.6f, -.7f, .4f); DwQuat(qs[0], Color.FromArgb(255, 255, 0), 4f); qs[1] = new OpenTK.Quaternion(-.6f, -.5f, .4f, .6f); DwQuat(qs[1], Color.FromArgb(0, 255, 255), 4f); for (int i = 0; i 255; i++)