概率的概念古典概型幾何概型概率的公理化定义.pptVIP

2.3 几何概型 一 几何概型 例4 桌面上划有一族等距的平行线，每相邻两条线之间的距离为d，今将一根长为l(＜d)的针随机地投向该桌面，求针与其中一条平行线相交的概率 p M x d θ o s Q x 0 θ SA d/2 解：设o表示针的中点,x表示针的中点与最近一条平行线的距离，θ表示针与直线OM的交角，有 0xd/2, 0 θπ/2 可以确定，x, θ平面上的一个矩形 Ω={(x, θ )l 0xd/2,0 θπ/2} 为了使针与平行线相交，其条件为 由等可能性知 设E是随机试验, Ω是样本空间,对E的每一个随机事件A,定义一个实值函数P(A),若P(A)满足下列条件, 公理1（非负性）0 ≤P(A)≤1 公理2（规范性）P(Ω)=1 公理3（完全可加性）对任意一例两两互斥事件A1,A2,…, 有 则称P(A) 为事件A的概率 2.4 概率的公理化定义 一 定义 性质1 P(?)=0 性质2 P(ā)=1- P(A) 证：因为 A∪ā=Ω 且 A∩ā=? 由定义中的规范性知 P(A∪ā)=P(Ω)=1 又由完全可加性知 P(A∪ā)= P(ā)+P(A)=1 所以 P(ā)=1- P(A) 2.4 概率的公理化定义 二 性质 性质3 若A?B，则P(B-A)=P(B)-P(A)且P(A)≤P(B) 证：当A?B时，有 B=A∪(B-A) 且 A∩(B-A)=? 由完全可加性知 P(B)=P{A∪(B-A)}=P(A)+P(B-A) 即 P(B-A)=P(B)-P(A) 又 P(B-A)≥0 于是 P(B)≥P(A) 2.4 概率的公理化定义 二 性质 P(B-A)= P(B-AB)=P(B)-P(AB) 性质4 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 证：因 A∪B=A∪(B-AB) 且 A∩(B-AB)= ? 因而 P(A∪B)=P(A∪(B-AB))=P(A)+P(B-AB) 又因为 AB?B P(B-AB)= P(B)-P(AB) 故 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 注： 一般情况有下 P(A∪B)≤P(A)+P(B) 2.4 概率的公理化定义 二 性质 例5 已知P(A)=0.9, P(B)=0.8, 试证P(AB) ≥0.7 证：由 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 知 P(AB)= P(A)+P(B)- P(A∪B) ≥ P(A)+P(B)-1 =0.9+0.8-1 =0.7 2.4 概率的公理化定义 例6（生日问题）设一年有365天，求下述事件A，B的概率： A={n个人中没有2个人生日相同} B={n个人至少有2人生日在同一天} 解： 样本空间点数为 365n 有利于A的样本点数为 Pn365 p(A)=Pn365/365n B为 A 的补事件 B=ā P(B)=P(ā)=1-P(A) 2.4 概率的公理化定义 例7 在1?10这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率； （2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率； （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 解:设 A—取到的数能被2整除; B--取到的数能被3整除 故 第二章 课后作业 习题二 2，4，6，8，9，10，11 概率的概念 古典概型 几何概型 概率的公理化定义 第二章 事件的概率 频率：设A为随机试验E的任一事件，相同的条件下 重复n次，用nA表示事件A在n次试验中出现的次数， 称比值fn(A)=nA/n为A在n次试验中出现的频率 2.1 概率的概念 一 概率 实 验者 次数n 正面向上(m) 频率(f =m/n) 蒲 丰 4040 2048 0.5070 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 概率: 随机试验中,事件A出现的可能性大小,记为P(A). 例如:反复投掷一牧均匀硬币，有如下结果： 2.1 概率的概念 一 概率 2.1 概率的概念 一 概率 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要