函数周期的常用求法.docVIP

三角函数周期的常用求法 公式法 对于函数或的周期公式是， 对于函数或的周期公式是． 例1 函数的最小正周期是 （ ） Ａ．　　　　Ｂ．２　　　　Ｃ．－４　　　　Ｄ．４ 解：由公式，得，故选Ｄ． 评注：对于函数或可直接利用公式求得；对于或可直接利用公式求得。 二、图像法 例２　求下列函数的最小正周期 　　　①　　　　　　　　　　② 解：分别作出两个函数的图像知　 ①的周期②不是周期函数 评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决． 定义法 例３　求函数的最小正周期 解：∵　＝　（） ∴　是函数的周期．显然中最小者是 下面证明是最小正周期 假设不是的最小正周期，则存在，使得： ＝对恒成立， 令，则＝　　① 但，∴　　②　 ∴　①与②矛盾，　　∴　假设不成立，∴是最小正周期． 　　评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子出发，设法找出周期中的最小正数（须用反证法证明）． 四、转化法 1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期 例４求函数的周期 解： ∴ ． 变式　求函数的最小正周期 解：∵　＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝ ∴　函数的最小正周期是 评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点． 2、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期 例5求函数 的周期 解：∵ ∴ ． 例6求函数的周期 解：∵ ∴ 函数的最小正周期 ． 　　五、最小公倍数法　 例7　求函数的最小整周期 解：设、的最小整周期分别为、， 则，，＝ ∴的最小整周期为 评注：设与是定义在公共集合上的两个三角周期函数，、分别是它们的周期，且，则的最小整周期是、的最小公倍数． 　　分数的最小公倍数＝　 抽象函数的周期的求法 象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数，如果对于定义域中的任意，⑴若满足（），则周期；⑵若满足（），即函数图象有两条对称轴，则周期；⑶若满足（），则周期；若满足（），则周期；⑷若满足（），则周期. 一、函数值之和等于零型，即函数满足（） 对于任意满足（），即，则，即，等价于，故函数的周期. 例1（05年天津卷16）设函数是上的奇函数，且的图象关于直线对称，则等于 . 解析 的图象关于直线对称，则（*），函数是上的奇函数，则，（*）式即，，的周期.在（*）式中令可得，利用函数的周期为2，则，因此，. 二、函数图象有（）两条对称轴型 函数图象有两条对称轴，即，改写为，即，等价于，周期. 例2（05年广东卷19）函数在上满足关系式，，且在闭区间上，只有. （1）判断函数的奇偶性；（2）求方程在闭区间上根的个数，并证明你的结论. 解析 函数满足（*），则的图象有两条对称轴，在闭区间上，只有，而，，故函数不是奇函数；由对称性和得，且，由而可得函数不是偶函数；因此函数是非奇非偶函数. 由（*）式还可以表示为，由可知函数的周期（或直接利用上面的结论，）.在闭区间上，只有，，，且周期，故方程在闭区间和上都有两个解（分别为和），从而方程在闭区间上有402个解，在闭区间上有400个解，从而方程在闭区间上根的个数为802个. 三、两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型 若，显然，则，即，而，因此，即，函数的周期；同理可证，若函数满足（），则周期. 例3 已知函数是上的偶函数，且，恒成立，则的值等于 . 解析 由可知，函数的周期为4，，函数是上的偶函数且，则，在中，令得，，. 四、分式型，即函数满足（） 由（），则（*），，代入（*）式得，即，由上面的类型三，求出周期. 例4．已知函数在上满足关系式.若，则等于 . 解析 由题意（*），将代入（*）式整理得，所以，函数的周期为8，，，. 设计抽象函数周期问题，要注意严密，下面的“函数”就是一个流传十分广的典型错例： 例5 已知定义在上的奇函数满足关系式.当时，，则的值等于（） A．1 B． C． D． 不少资料选入此题，并给出答案为，提示思路是：，则，将代入可得，周期为2，则. 显然，如果原函数的周期为2，则周期也可为4，则.这样，与都成立，就不是单值函数了，即根本不是函数！ 该“函数”的问题还可以这样来得出：函数是上的奇函数，则，根据，令则，，但的周期为2，必定满足，则，也能得出互相矛盾的结论来.本题还可以从函数图象推出矛盾. 第 1 页 共 7 页