《线性代数的几何意义》之二(向量的几何意义)分解.pdfVIP

------图图解解线线性性代代数数------ 线线线性性性代代代数数数的的的几几几何何何意意意义义义 之之之（（（222））） 任广千 胡翠芳 编著 y 1 -2 -1 0 x 2 -1 2010.04.25 几几何何意意义义名名言言录录 没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方 式来表达事物是非常有意义的。 -------笛卡尔 算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式； 没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。 --------希尔伯特 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓 慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展， 则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是 行尸走肉。 --------柏拉图 无论是从事数学教学或研究， 我是喜欢直观的。学习一条数 学定理及其证明， 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思 路弄明白了， 我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治 《线性代数的几何意义》 第二章 向量的基本几何意义 向量的概念始终贯穿当代科学的主要内容中，也始终贯穿线性代数的主要内容中，所以我们不 妨回顾回顾这个概念的几何意义，以期更清晰地理解线性代数的几何本质。 2.1 向量概念的几何意义 自由向量的概念 向量（Vector）和标量的概念是发明四元数的爱尔兰数学家W。R。哈密尔顿给出的。向量是一 个既有大小又有方向的量，这个量本身就是个几何的概念。我们常常把它与标量（只有大小的量） 相区别。抓住向量的大小和方向这两个特征，一般用一个有向线段来表示一个向量(显然，向量本 uuur 身就是一个几何图形)，记为 AB 或者α 。如下图： B A 在物理学中，也把向量叫矢量，矢就是箭，向量如一根箭一样有头部和尾部，箭在空间自由的 飞行中箭杆的长度不会变，这一点与向量相同；但箭在重力的作用下会改变方向，但一个确定的向 量不允许改变方向，一个向量改变了方向就变成了另外一个向量了。所以向量的“飞行”称为平移， 这种在一条直线上平移的向量称为自由向量（物理学中常称为滑动向量）。 0 沿着直线飞行的箭簇在每一时刻所表示的无数向量归属于同一个向量，这些无数的向量实际上 是平行的向量。另外还有不在一条直线上的平行而相等的向量，如下的例子： 考察一个刚体的平行移动。当刚体从一个位置平行移动到另一个位置时（比如说这个刚体是麦 吉小姐过河坐的小船，小船从河流的一边驶向对岸），刚体上各质点在同一时间段内有相同的位移， 各点所画出的位移向量a有相同的大小和方向，他们每一个都反映了刚体位移的情况，因此刚体的 平移运动可以用这些向量中的任一个来表示。基于这样的原因，凡是两个向