第一章预备知识：场论与正交曲线坐标论述.pdf

高等流体力学 第一章 预备知识 ● 场论与 正交曲线坐标 ? 场：具有物理量的空间 ? 物理量 ( )=f R t空间位置 ， §1.1 向量及张量的基 本运算 一 向量运算符号规定、 1、爱因斯坦（Einstein）求和符号 定义：数学式子中任一项出现一对符号相同的 指标（哑指标） 如： a =a +a +ae e e ei i 1 1 2 2 3 3 ( )k b k k b + b + b +3k+1 2 1 1 2 2 3 3i i j j 1 2a = a a ae ei 克罗内尔 符号2、 （Kronecker）δ 定义：任意两个正交单位向量点积用 表示ijδ i j ij 1 i= j =δ =??e ei =1 2 3i j， ，，0 i j≠? 3、置换符号 任意两个正交单位向量叉积可表示为 ee e e× = 式中 称为置换符号，又称利西（Ricci）符号 i j ijk k ijke 0 i j k 2 3? 中有 个或 个自由指标值相同 1 i j k 12312 3ijke ?= ? ? ， ， ， ， 中按 顺序任取 个排列 1 i j k 13213 3?? ， ， 中按 顺序任取 个排列 向量 算公式二、 运 = a b =a b a b a bδ= =e e e ei i ia b ( )b b± ± ±e e eb i i j j i j i j i j ij i i i ii i i i i=a = aa b bb i i j j i j i j=a =a × × ×e e e ea 1 2 3e e e 1 2 3i j ijk ka b e a a a b b b = =e 1 2 3 ( ) ( ) ( )j j k k j ki i i j k ia b c a b c a b c e a b c e a b c e × = × = × = = = c e e e e e e e e i i i i a b 1 2 3 i j k i jkl l i j k jki i j k ijk a a a 1 2 3 1 2 3 b b b c c c = ( ) ( ) ( ) ( )× = × × = ×=i i i ia b c a b c c a b c a b ( ) ( ) ( )× × ?i ia b c = a c b a b c ( ) ( ) ( )( ) ( )( )× × = ?i i i i ia b c d a c b d b c a d 三、向量分量的坐标变换 =a ae ea i i i i′ ′= a a e e和 分别为 在两个不同的正交坐标系中的 分量和坐标轴单位向量，各单位向量间的夹角余弦（即方 向余弦）为 i i′， i i′， a ( 1 2 3)l m n j =j j j， ， ，， 各坐标轴方向余弦 1 2 3 e e e ( ) ( )1 2 3i ii i i i ia a a i = , , ′′ ′ ′= =e e e ei i e 1 2 3l l l m m m 1′e e ( ) ( )1 2 3i ii i i i ia a a i= , , ′′ ′ ′= =e e e ei i 1 2 ′ ′e 1 2 3 1 2 3 n n n 2 3 ′ ′e 3′e 例如： ( ) ( ) ( ) l l l 阶 的基本 算 1 1 2 1 3 11 1 2 3 1 1 2 2 3 3a a a a a a a′ ′ ′′ = + + = + +e e e e e ei i i 四、二 张量 运 表示为： 二阶张量是两个向量的并积 ( )B j 1 2 3i i j j i j i j ij i ja c a c b i = , , = = =e e e e e e ，ac = ！ i j j i≠e e e e 1 二阶张量的基本运算规则、 ( )i j i j i ja b c d ± ± e eab cd = ( ) ( ) ( )c = c = c =ci i i ia b a b b a b a ( ) ( ) ( )i i i i ab cd = a b c d = b c ad = ad c b ( )( ) ( )( ) ( )( )b d b d b d d b= =i i i i i i i ic a = c a c