《数值与算法》第二讲-非线性方程求根案例.pptxVIP

数 值 分 析 (2) Numerical Analysis Wenjian Yu 2 第二章 非线性方程求根 引言 二分法 不动点迭代法 牛顿迭代法 牛顿法的改进 有关的实用技术 Wenjian Yu 3 引言 Wenjian Yu 4 非线性方程基本理论 ? ? ? Wenjian Yu 5 非线性方程基本理论 ? (绝对条件数) ? Wenjian Yu 6 二分法 Wenjian Yu 7 二分法 ? ? Wenjian Yu 8 二分法 算法稳定性: 运算简单, 误差逐渐缩小, 因此稳定 ? Wenjian Yu 9 二分法 ? ? (‘format hex’按16进制显示) ? (定理2.2) Wenjian Yu 10 二分法的总结 ? ? ? Wenjian Yu 11 不动点迭代法 Wenjian Yu 12 不动点迭代 ? ? 推出迭代法: ? ? x* x ? 计算过程的几何含义 为什么？ x0 x1 x2 ? Wenjian Yu 13 不动点迭代 ? ? ? 关键问题：如何判断收敛性？ ? ? (5位有效数字不变) ? ? (计算量较小) Wenjian Yu 14 全局收敛的充分条件 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 唯一性的证明用反证法 Wenjian Yu 15 全局收敛的充分条件 ? ? ? ? (条件(1)是算法执行的前提) ? ? ? Wenjian Yu 16 全局收敛的充分条件 ? ? ? ? ? 这就是定理2.5 为什么可以换？ ? ? ? 便于使用 Wenjian Yu 17 全局收敛的充分条件 ? ? ? ? ? ? , 满足条件(2)’ ! ? 不满足条件(1), 无法说明是否收敛 思考: 从图形角度, 举不满足条件(1), (2)但收敛的例子 Wenjian Yu 18 局部收敛 ? ? ? (强调存在某个邻域) (利用定理2.5) ? ? ? ? 满足条件(1). 根据定理2.5, 收敛！ Wenjian Yu 19 局部收敛 ? ? ? ? ? ? 误差有放大的趋势 可能 Wenjian Yu 20 稳定性与收敛阶 ? ? ? ? (合理设置判停准则, 稍后讲牛顿法时介绍) ? ? 线性 平方(超线性) Wenjian Yu 21 稳定性与收敛阶 ? ? ? ? ? ? ? ? Wenjian Yu 22 稳定性与收敛阶 ? ? ? ? ? ? ? ? 矛盾! Wenjian Yu 23 牛顿法 Wenjian Yu 24 牛顿法 ? ? ? x* x xk xk+1 ? =0 ? ? ? ? ? ? Wenjian Yu 25 牛顿法 ? ? ? ? ? (请自行推导) ? ? ? Wenjian Yu 26 牛顿法 ? ? ? ? (课本2.4.2小节) Wenjian Yu 27 迭代法的判停准则 ? ? 判停准则决定了解的准确度、及迭代步数(计算量) 相比二分法, 较难设置 敏感问题 ? Wenjian Yu 28 牛顿法的问题 ? ? ? ? ? ? ? 一阶导数不连续! Wenjian Yu 29 割线法与抛物线法 Wenjian Yu 30 割线法与抛物线法 ? ? x* x ? ? (超线性) xk-1 xk xk+1 Wenjian Yu 31 割线法与抛物线法 ? 抛物线 xk+1 0 x y xk xk-1 xk-2 ? ? Wenjian Yu 32 实用的求根技术 Wenjian Yu 33 实用的方程求根技术 阻尼牛顿法 多项式方程求根 (2.6.2小节不要求) 通用求根算法zeroin (简略) Wenjian Yu 34 阻尼牛顿法 ? ? ? ? ? Wenjian Yu 35 通用求根算法zeroin ? Wenjian Yu 36 通用求根算法zeroin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 纠正上一步解的偏离 Wenjian Yu 37 通用求根算法zeroin ? 详细的Matlab算法程序见课本pp. 50 Wenjian Yu 38 应用实例 ? (2.7.1节不要求) ? Wenjian Yu 39 应用实例 ? ? ? x , t x , t 最大值1 最小值0 ? 见t_pipe.m