专题向量与等差数列.docVIP

向量 知识清单 一、有关概念 1.向量：大小、有方。向量的大小叫向量的模， 2.表示方法： ⑴字母表示法:如等. ⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等. ⑶坐标表示法:在坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,则=. 3.相等向量：长度相等、方向相同。向量可以自由平移,平移前后的向量相等。两向量与相等,记为. 注：向量不能比较大小,因为方向没有大小. 4.零向量：长度为零的向量。零向量只有一个,其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量。单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上。规定：与任一向量共线。共线向量又称为平行向量。 7.相反向量：长度相等且方向相反的向量。 二、向量的运算 (一)①加减法，结果仍是向量；②实数与向量的乘积，结果仍是向量；③两个向量的数量积，结果是数量。 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1,y1),=(x1,y2) 则=(x1+x2,y1+y2) =（x2-x1,y2-y1） += 实数与向量的乘积 =λ λ∈R 记=(x,y) 则λ=(λx,λy) 两个向量的数量积 记 则·=x1x2+y1y2 (二)运算律 加法：①(交换律); ②(结合律) 实数与向量的乘积：①; ②;③ 两个向量的数量积: ①·=·; ②(λ)·=·(λ)=λ(·);③(+)·=·+· 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如(±)2= (三)运算性质及重要结论 ⑴平面向量基本定理: 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。 ⑵两个向量平行的充要条件 ∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0，当与同向时,λ0；当与异向时,λ0。|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此，当,确定时，λ的符号与大小就确定了 ⑶两个向量垂直的充要条件 ⑷① 即 (求线段的长度); ② (求角度)。 注:①叫做向量在方向上的投影（如图）. 数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积. ③如果,,则=, ∴,这就是平面内两点间的距离公式.典型例题 例1、已知 则（1）当时，=____ （2）当时，=____ 例3、设，， 求证：A、B、D三点共线。 证明：∵BD=BC+CD= -2a + 8b+ 3(a -b)=a+5b ∴AB=2 BD ∴AB∥ BD且AB与BD有公共点B ∴ A、B、D 三点共线 例4、设向量记函数，且的最小正周期是T。 求T 当时，的值域。 T= 则 等差数列 知识清单： 典型例题： 向量： 若则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 下列向量中，与垂直的向量是（ ） A． B． C． D． 若向量的夹角为，，则 . 已知垂直，则等于 设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a*(a＋b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。 数列： 2010高考数学复习知识清单 例2．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是(　　) A. B. C. D. 解析：∵A(4,1)，B(7，－3)，AB＝(3，－4)， ∴与AB同向的单位向量为 答案：A