【线性代数】--线性代数(B类)及答案.docVIP

线 性 代 数(B)试 卷----A卷 一、单项选择题（每题3分，共15分） 1. 向量组线性无关，且可由向量组线性表示， 则以下结论中不能成立的是 (A) 向量组线性无关； (B) 对任一个，向量组线性相关； (C) 存在一个，向量组线性无关； (D) 向量组与向量组等价。 2. 设三阶矩阵 ，已知伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 3. 设是维非零实列向量,矩阵,，则___________ (A) 至少有－1个特征值为1； (B) 只有1个特征值为1； (C) 恰有个特征值为1； (D) 没有1个特征值为1。 4. (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 5. 设为实矩阵，，则 (A) 必合同于阶单位矩阵； (B) 必等价于阶单位矩阵； (C) 必相似于阶单位矩阵；　(D) 是阶单位矩阵。 二、填空题（每题3分，共15分） 1．已知为阶方阵，不是的特征值，且， 则 。 2. 若三阶方阵有特征值 ，则行列式 。 3．已知实二次型正定,则常数的 取值范围为________________。 4. 已知为阶方阵，是的列向量组，行列式，其伴随 矩阵，则齐次线性方程组的通解为 。 5. 设为阶实矩阵，且，，则行列式 。 三、计算题(每题9分,共54分) 1． 线性方程组为 ，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。 2． 设3阶方阵满足方程 ，试求矩阵，其中 ， 。 3．计算行列式，其中 ， 4. 已知实二次型 =，求正交变换, 化为标准形，并写出正交变换 5. 已知为三阶实对称矩阵，秩,,,是 对应特征值的特征向量，试求： （1）的另一个特征值及其特征向量； （2） 矩阵，矩阵。6. 设的两个基，，；，， （1） 求由基 的过渡矩阵； （2） 已知向量，求向量在基 下的坐标； (3) 求在基下有相同坐标的所有向量。 四、证明题(每题8分,共16分) 1． 设为矩阵，证明：存在非零矩阵，使的充分必要 条件为秩。 2. 设是阶实矩阵,的特征值互异。证明:矩阵的充分必要条件为的特征向量都是的特征向量。 线性代数（B）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 一、选择题 1.(B) 2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.(A) 二、填空题 1. ； 2. ； 3. ； 4. 是的极大线性无关组； 5. 三、计算题 1. 当2时，方程组有唯一解 当2，1时，方程组无解 当2，1时，＝2 3，方程组有无穷多组解,其通解为 ，为任意常数。 2. ， 3. ， ， 。 4.的矩阵，有特征值 A对应的线性无关的特征向量与单位正交特征向量 ，，；，， 于是正交变换即 化二次型为标准形 。 5．（1） 因为，所以；设，由正交， 得 （2） 设，则 。 6. (1) 设 ,, (2) ，坐标 （3） 设 则 解得，故。 四、证明题 1．设，则都是线性方程组的解。故 方程组有非零解。 2． 必要性： 设，则当时，由，知 都是对应特征值的特征向量，是的一重特征值，线性相关。因此，存在常数，使，是的对应特征值的特征向量。 当时，是对应的特征值的特征向量。 故的特征向量都是的特征向量。 充分性：的特征值互异，相似于对角阵，即存在可逆阵， 使 。 的特征向量都是的特征向量，故 。 因为 ， ， 所以。