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9.3 《二项式定理》错误解题分析 一、知识导学 1、二项式定理： 上列公式所表示的定理叫做二项式定理。 右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有ｎ＋1项。 其中各项的系数叫做二项式系数。 式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即＝。 2、二项式系数的性质： （1）对称性。与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。事实上，这一性质可直接由公式得到。 （2）增减性与最大值。二项式系数，当ｒ＜时，二项式系数是逐渐增大的。由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值。 （3）各二项式系数的和。的展开式的各个二项式系数的和等于。 二、疑难知识导析 1、二项式定理是代数公式 和的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的。同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解。 2、对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式。通项公式＝在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项。 3、二项式定理的特殊表示形式 （1）。 这时通项是＝。 （2）。这时通项是＝。 （3）。即各二项式系数的和为。 4、二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和。即 三、经典例题导讲 [例1]已知，求的值。 【错解】由二项展开式的系数的性质可知：的展开式的各个二项式系数的和等于，显然，就是展开式中的，因此的值为－1。 【错因】上述解答忽略了 是项的系数，而不是二项式系数。 【正解】由二项展开式的结构特征，是项的系数，而不是二项式系数。观察式子特征，如果＝1，则等式右边为，出现所求式子的形式，而就是展开式中的，因此，即1＝1＋，所以，＝0 【评注】这是二项式定理的一个典型应用—赋值法，在使用赋值法时，令、ｂ等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“－1”，或其他值。 [例2]在多项式的展开式中，含项的系数为　　　。 【错解】原式＝＝　　 ∴项的系数为0。 【错因】忽视了ｎ的范围，上述解法得出的结果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供。 【正解】原式＝＝　　 ∴当ｎ≠6时，项的系数为0。当ｎ＝6时，项的系数为1 【说明】本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少这一项。 [例3] 的末尾连续零的个数是 ( ) A、7 B、5 C、3 D、2 解： 上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0。所以的末尾连续零的个数是3。故选C。 [例4] 已知的展开式前三项中的的系数成等差数列。 　（1）求展开式中所有的的有理项； 　（2）求展开式中系数最大的项。 解：（1）展开式前三项的系数分别为。 由题设可知： 解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）。 当ｎ＝8时，＝。 据题意，4－必为整数，从而可知必为4的倍数，而0≤≤8，∴＝0,4，8。 故的有理项为：，，。 （2）设第＋1项的系数最大，显然＞0，故有≥1且≤1。 ∵＝，由≥1，得≤3。 ∵＝，由≤1，得≥2。 ∴＝2或＝3，所求项分别为和。 【评注】 1、把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质。 2、运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的项（要注意ｎ和ｒ的数值范围及大小关系）。 3、注意区分展开式“第＋1项的二项式系数”与“第＋1项的系数”。 [例5]已知的展开式中含项的系数为24，求展开式中含项的系数的最小值。 解： 解法一　 由中含项的系数为24，可得。从而，。 设中含项的系数为ｔ，则ｔ＝。 把代入上式，得ｔ＝。 ∴当ｎ＝6时，ｔ的最小值为120，此时ｍ＝ｎ＝6。 解法二　 由已知，设中含项的系数为ｔ， 则ｔ＝≥2＝2（72－12）＝120。 当且仅当ｍ＝ｎ＝6时，ｔ有最小值120。 ∴展开式中含项的系数的最小值为120。 【评注】构造函数法是一种常用的方法，尤其在求最值问题中应用非常广泛。 精品系列资料 传播先进教育理念 提供最佳教学方法 联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789 第 4 页 共 4 页