《圆》知识点归纳.docVIP

第24章《圆》知识点归纳 圆的定义及有关概念 1．圆的定义 （1）在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． （2）．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．定点为圆心，定长为半径。 （3）．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 2． 同圆、同心圆、等圆（1）．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； （2）．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；（3）．半径相等的圆叫做等圆． 3．弦和弧 （1）．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． （2）．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． （3）．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （4）．从圆心到弦的距离叫做弦心距． （5）．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 二．与圆有关的角及相关性质定理 1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 推论3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 *3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角． 圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半． *4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角． 圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 6．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 7.圆的性质：是轴对称图形又是中心对称图形，过圆心任意一条直线都是它的对称轴，圆心是对称中心。另圆还具有旋转不变性。 8．垂径定理及其推论 ．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论1．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧． 以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 例如： 由⑴⑶推⑵⑷⑸ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 由（1）（2）推（3）（4）（5）： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 由（1）（4）或（5）推2,3,5，或2,3,4 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论： 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 9．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 相关题目：已知在中，半径，是两条平行弦，且，求两弦之间的距离． 三．与圆有关的几种位置关系 （一）．点与圆的位置关系 1.点与圆的三种位置关系⑴点在圆外；⑵点在圆上；⑶点在圆内. 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在的圆周上. 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部. 相关题目：．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径 2．过已知点作圆 ⑴经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个． ⑵经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个． ⑶过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． ⑷过个点的圆：只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心． 3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵