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第13章 数值分析 每当难以对一个函数进行积分、微分或者解析上确定一些特殊的值时，就可以借助计算机在数值上近似所需的结果。这在计算机科学和数学领域，称之为数值分析。至此，可以猜到，MATLAB提供了解决这些问题的工具。本章将介绍这些工具的使用。 13.1 绘图 说到绘图，只要计算函数在某一区间的值，并且画出结果向量，这样就得到了函数的图形。在大多数情况下，这就足够了。然而，有时一个函数在某一区间是平坦的并且无激励，而在其它区间却失控。在这种情况下，运用传统的绘图方法会导致图形与函数真正的特性相去甚远。MATLAB提供了一个称为fplot的巧妙的绘图函数。该函数细致地计算要绘图的函数，并且确保在输出的图形中表示出所有的奇异点。该函数的输入需要知道以字符串表示的被画函数的名称以及2元素数组表示的绘图区间。例如： fplot(‘ humps ‘ , [0 2]) title(‘ FPLOT OF HUMPS ‘) 在0和2之间计算函数humps，并显示该函数的图形。（见图13.1)。 图13.1 函数humps的图形 在这个例子中，‘ humps ‘是MATLAB的M文件函数。 function y=humps(x) % HUMPS A function used by QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO. % HUMPS(X) is a function with strong maxima near x= .3 and x= .9. % See QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO. % Copyright (c) 1984-93 by The MathWorks, Inc. y=1 ./ ((x - .3) .^ 2+ .01)+1 ./ ((x - .9) .^ 2+ .04) - 6; fplot适用于任何具有单输入和单输出向量的函数M文件。即如同humps，输出变量y返回一个与输入x同样大小的数组，在数组到数组意义上y和x有联系。在使用fplot（以及其它数值分析函数）的过程中，最普遍犯的错误是忘记把函数名加上引号。即fplot需要知道字符串形式的函数名。如果输入fplot(humps , [0 , 2])，MATLAB认为humps是工作空间中的一个变量，而不是函数的名称。注意把变量humps定义为所需要的字符串，就可避免这个问题。 humps=‘ humps ‘; fplot(hump , [0 2]) 这时，MATLAB从变量humps中获得字符串‘ humps‘。 对于可表示成一个字符串的简单的函数，如，fplot绘制这类函数的曲线时，不用建立M文件，只需把x当作自变量，把被绘图的函数写成一个完整的字符串。 f=‘ 2*exp(-x) .* sin(x) ‘; 式中，运用数组乘法定义了函数 fplot(f , [0 8]); title(f) , xlabel(‘x‘) 图13.2 的曲线 在区间绘出上述函数，产生如图13.2所示的图形。 除了这些基本特性，函数fplot还有很多强大的功能，有关详细的信息，参阅《MATLAB参考指南》或在线帮助。 13.2 极小化 作图除了提供视觉信息外，还常常需要确定一个函数的其它更多的特殊属性。在许多应用中，特别感兴趣的是确定函数的极值，即最大值（峰值）和最小值（谷值）。数学上，可通过确定函数导数（斜率）为零的点，解析上求出这些极值点。检验humps的图形在峰值和谷值点上的斜率就很容易理解这个事实。显然，如果定义的函数简单，则这种方法常常奏效。然而，即使很多容易求导的函数，也常常很难找到导数为零的点。在这种情况下，以及很难或不可能解析上求得导数的情况下，必须数值上寻找函数的极值点。MATLAB提供了两个完成此功能的函数fmin和fmins。这两个函数分别寻找一维或n维函数的最小值。这里仅讨论fmin。有关fmins的详细信息，参阅《MATLAB参考指南》。因为f(x)的最大值等于-f(x)的最小值，所以，上述fmin和fmins可用来求最大值和最小值。如果还不清楚，把上述图形倒过来看，在这个状态下，峰值变成了谷值，而谷值则变成了峰值。 为了解释求解一维函数的最小值和最大值，再考虑上述例子。从图13.2可知，在xmax=0.7附近有一个最大值，并且在xmin=4附近有一个最小值。而这些点的解析值为：和。为了方便，用文本编辑器编写一个脚本M文件，并用fmin寻出数值上极值点，给出函数主体如下： % ex_fmin.m fn=‘ 2*exp(-x)*sin(x) ‘; % define function for min xmin=fmin(fn , 2 , 5) % search over r