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PAGE  PAGE 19 Chap5比估计与回归估计 教学要求： 重难点： 引语：（请学生回顾）前面介绍过的目标量有四个类型：总体均值、总体总量、总体比例、两个指标的总数或均值的比值Ｒ，在简单随机抽样和分层抽样中讨论的目标都是前三类，且它们本质上是一类，相互之间可类推。本章讨论第四类目标量比值Ｒ的估计，这是第一个问题。比如服装消费支出占总支出的比值，在校儿童对全体儿童的比重。其次前面所用的估计量是简单估计，它只涉及所估计的指标本身。如果有另一个与Ｙ关系密切（比例关系或线性回归关系）的指标Ｘ可作为辅助变量，来构造另一类估计量，即比估计量或回归估计量，来提高估计精度，这是第二问题。如调查每月每户平均消费，消费通常与每户人口数密切相关，可用每户人口数作为辅助变量，先估计每月每户平均消费与每户人口数的比值???，然后利用已知的每户平均人口，就可得到每月每户平均消费的估计值。由于这两个问题之间存在密切的内在关系，因此放在这一章节一起讨论。 5.1比估计 基本概念 考虑到有两个指标量Ｙ和Ｘ，不妨将总体记为，对应样本为，如果要估计的是总体比值，则总体比值Ｒ可用样本的比值 进行估计，该估计量称为比值估计量． 当调查指标仅为Ｙ，Ｘ为辅助变量时，在或已知时，和Ｙ可用 　　　　 分别进行估计，称为比（比率）估计量．这三者通称为比估计量，它们之间只相差一个常数，相互之间可推导，研究时只选择一个即可． 性质 我们知道简单估计量是无偏估计，其均值误差等于其方差．但对于比估计量却不具有无偏性，而是渐近无偏．其均值误差与方差有差异，但偏倚不大． 可证：对于简单随机抽样，当n很大时， 　　 简要证明： 当n很大时，，代入上式分母中，有 所以，当n很大时．此时 对每个总体单元，令，对每个样本单元有，则其总体均值和样本均值分别为 　　 因而　　　　 ＝ 所以，当n很大时　　 此方差的估计量可采用 或　　　　　　　　　 说明：这两个方差估计量很难比较谁优谁劣，对不同总体有不同结论。 类推可得：对于简单随机抽样，当n很大时， ，　　, 　， ,　 【例1】（冯Ｐ１３０例5.3） 交通运输统计中有三个重要的指标，即运量、周转量与平均运距，其中平均运距是总周转量除以运量所得的商。为估计公路载货汽车的平均运距，在总体中用简单随机抽样抽取32辆货车，记录每辆车在一个月内的运量xi (单位吨)与周转量yi (单位吨公里)，如P130表5.3所示，试估计平均运距R并给它的90%的置信区间。 解：,,, 故平均运距Ｒ的估计值为 为求方差估计值，令１－f＝1， R的90%的置信区间为 比估计与简单估计的比较 简单估计法以样本均值估计总体均值，比估计以估计，两者的估计方差为 由于样本方差和样本协方差是总体方差和总体协方差的无偏估计，所以的一个近似估计是 即 其中是指标Ｘ与Ｙ的总体相关系数． 比估计优于简单估计的条件是　　　　　 (*) 其中：，分别是总体Xi和Yi的变异系数. *式说明在估计时，如果有与指标Ｙ相关系数较大的辅助指标Ｘ，而且Ｘ的变异系数比较小，则用比估计法的有利的．即Ｘ的变异系数与Ｙ的变异系数相当，当相关系数ρ大于１／２时，比估计比简单估计更优． 5.２回归估计 有效运用比估计的一个前提是Ｙ与辅助变量X基本上成（正）比例关系，即 Yi 对Xi的回归直线通过原点。若Yi 对Xi的回归直线不通过原点，为了进一步提高精度，则应使用回归估计。 对于简单随机抽样，总体均值和总量Ｙ的（线性）回归估计量定义为： 　　　　　 其中是样本均值，β可以是：(1)事先设定的常数；(2)从样本中计算得到的某一特定统计量，如样本回归系数。下面例举几种回归估计的特殊情况。 (1)当时的回归估计量称为差估计量（difference estimator） ： (2)当时，即为简单估计量。 (3)当时，则 即比估计量。 我们知道简单估计是无偏估计，而比估计是渐近无偏的，也就是说β为设定常数与β 为某一统计量对回归估计在性质上有很大的不同，下面分别进行讨论。 １．β为设定常数 令β０是设定常数，易证回归估计量 是的无偏估计。求它的方差时，可视为 的样本均值，所以可用简单估计量的方差公式： 由于样本方差和样本协方差是总体方差和总体协方差的无偏估计，因此的一个无偏估计是　　　　　　 β０的不同取值会影响值，若取值合理，就小，否则就大。若要 最小，则 最小。对β０ 求导，则 ，即为Ｙ对Ｘ的总体回归系数Ｂ 时，取得