ch-无穷大量无穷小量,极限的运算准则.docVIP

第三讲  = 1 \* ROMAN I.授课题目： §1.4 无穷小与无穷大 §1.5 极限运算法则。  = 2 \* ROMAN II.教学目的与要求： 1.理解无穷大和无穷小的概念，掌握无穷小的性质，了解无穷小与无穷大的关系； 2.掌握极限的运算法则，并能应用法则求一些简单极限。  = 3 \* ROMAN III.教学重点与难点： 重点：1.理解无穷小、无穷大的概念，了解无穷小与无穷大的关系； 2.理解极限运算法则的意义，熟练掌握其应用. 难点：极限运算法则的应用  = 4 \* ROMAN IV.讲授内容： §1.4 无穷小与无穷大 无穷小： 定义1 如果函数当是的极限为零，那么称函数为使得无穷小 例1 因为，所以函数为当是的无穷小 因为，所以函数为当是的无穷小 定理1 在自变量的同一变化过程，函数具有极限A的充要条件是，其中是无穷小。 注：本定理说明了无穷小与函数极限的关系。 无穷大 定义2 设函数在的某一去心领域内有定义（或大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式0（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当时的无穷大。 当时的无穷大的函数，按函数极限定义来说，极限是不存在的。为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作。如果在无穷大的定义中，把，就记作 例2 证明 证 设 定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且0，则为无穷大。 注：本定理说明了无穷小与无穷大之间的关系. §1.5极限运算法则 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小， 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小， 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小， 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 定理3 如果 那么 （1） （2） （3） 若又有，则 注:对数列极限，有类似的结论。见定理4（教材P.45）。 定理5 如果，而 则 例3 求 解 当时，分子及分母的极限都是零，于是分子、分母不能分别取极限，因为分子及分母有公因子，而时，可约去这个不为零的公因子，所以 例4 求 解 当时，分子及分母的极限都不存在，故??于商的极限的运算法则不能应用。如果把看作与的乘积，由于当时为无穷小，而是有界函数，更据本节定理2，有=0 定理6（复合函数的极限运算法则） 设函数是由与符合而成，在点的某去心邻域内有定义，若， 且，当时，有， 则 Ⅴ.小结与提问 小结：无穷小量是一种以零为极限的特殊的变量，所以它的性质和运算法则都可有函数极限的性质和运算法则直接推得。重点是无穷小量与有极限的量的关系。 提问： 思考题：如果存在，不存在，能否判定必定不存在？ Ⅵ.课外作业