高中数学数列知识点(经典)教材.doc

PAGE 1 PAGE 9 数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：（为常数）， 等差中项：成等差数列 前项和 性质：是等差数列 （1）若，则 （2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为； （3）若三个成等差数列，可设为 （4）若是等差数列，且前项和分别为，则 （5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数） 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项， 即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数的等差数列，有 ，. （7）项数为奇数的等差数列，有 ， ，. 2. 等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），. 等比中项：成等比数列，或. 前项和：（要注意！） 性质：是等比数列 （1）若，则 （2）仍为等比数列,公比为. 注意：由求时应注意什么？ ??，； 时，. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列，，求 解 时，，∴ ① 时， ② ①—②得：，∴，∴ ［练习］数列满足，求 注意到，代入得；又，∴是等比数列， 时， （2）叠乘法 如：数列中，，求 解 ，∴又，∴. （3）等差型递推公式 由，求，用迭加法 时，两边相加得 ∴ ［练习］数列中，，求（） （4）等比型递推公式 （为常数，） 可转化为等比数列，设 令，∴，∴是首项为为公比的等比数列 ∴，∴ （5）倒数法 如：，求 由已知得：，∴ ∴为等差数列，，公差为，∴， ∴ ( 附： 公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 ) 4. 求数列前n项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：是公差为的等差数列，求 解：由 ∴ ［练习］求和： （2）错位相减法 若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. 如： ① ② ①—② 时，，时， （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 相加 ［练习］已知，则 由 ∴原式 (附： a.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和 迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。 f.用分组求和法求数列的前n项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 g.用构造法求数列的前n项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 ) 选择题 1.2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项( ) （A）669 （B）670 （C）671 （D）672 2.数列{an}满足an=4an-1+3,a1=0，则此数列的第5项是（ ） （A）15 （B）255 （C）20 （D）8 3.等比数列{an}中，如果a6=6,a9=9,那么a3为（ ） （A）4 （B） （C） （D）2 4