2.3抽象群的概念.ppt.ppt

旧知回顾;（1）有一个非空集合； （2）在这个集合上定义了一个运算； （3）运算满足性质Ⅰ～Ⅳ.;导入新课;2.1 n元对称群Sn;教学目标; 通过实例来学习群的一般概念. 进一步掌握抽象群的意义. 通过实例，掌握群的判定方法.;教学重难点;1.群的一般概念;例如： Dn中对称变换的合成时Dn上的二元运算； Sn中置换的合成时Sn上的二元运算； 整数的加法（+）、减法（-）和乘法（×）都是整数集Z上的二元运算，这是因为两个整数的和、差与积都仍然是整数.;定义;Ⅲ.G中的每个元素都有逆元，即对任意的a∈G，存在a′∈G，使得a?a′=I=a′?a； Ⅳ.G的乘法满足结合律，即对任意的a，b，c∈G，(a?b)?c=a?(b?c)； 则（G，?）称为一个群.; 换句话说，群就是一个非空集合.这个集合有一个满足结合律的二元运算，集合中有一个单位元，集合中每一个元素都有一个逆元.;二元运算; 又如整数集Z连同整数的加法构成一个群,记作（Z，+）.下面的表格说明Z满足群的4个条件.; 这些例子告诉我们，群的定义中的乘法的含义很广，它可以是平面图形的对称变换的合成、置换的合成.也可以是数的乘法或加法.;记 Z3={0，1，2}. 在集合Z3上定义一个运算，用⊕表示，即对任意的a，b∈Z3，使 a⊕b=(a+b) 除以3得到的余数.;⊕;例 验证Z3和运算⊕构成一个群.;Ⅲ.由1⊕2=2⊕1=0, 0⊕0=0，知1的逆元是2，2的逆元是1，0的逆元是0； Ⅳ.容易验证，对任意的a，b∈Z3， ，即运算⊕满足结合律. 综上所述，Z3和运算⊕构成一个群（Z3，⊕）.;探究;⊕;2.直积; 把所有这样的有序对组成的集合记作G1×G2，在G1×G2上定义一个运算⊙；对于G1×G2中任意两个元素（a1，B1），（a2，B2），规定（a1，B1）⊙（a2，B2）= (a1 *a2，B1 ?B2) 也就是说，对有序对的第一个分量作G1的运算*，对第二个分量G2的运算?.可以证明，G1×G2和运算⊙构成一个群，称为G1和G2的直积，记作{G1×G2，⊙}，它的单位元是（e，I）.; 现在，我们就来看看（Z2，⊕）与（Z3，⊕）的直积作成的群（Z2×Z3，⊕）是什么样子.显然Z2×Z3中有6个元素，即 {（0，0），（0，1），（0，2）， （1，0），（1，1），（1，2）}.; 用⊙表示Z2×Z3上的运算，那么我们有 （0，0）⊙（0，1）=(0⊕0,0⊕1)=(0,1); （1，0）⊙（0，2）=(1⊕0,0⊕2)=(1,2); （1，2）⊙（1，1）=(1⊕1,2⊕1)=(0,0); ...;⊙;课堂小结;