北京中考数学之平移对称旋转义.docVIP

PAGE  PAGE 41 巧用平移、对称、旋转解几何题 在证明和求值的诸多几何问题中，往往不能直接找到解题的突破口，那么我们就要另壁蹊径，就是要借助图形转换的方法来解题了. 以下介绍三种方法： 一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离 平移适用原则1：通过平移构造平行四边形或者矩形，得到线角等量关系。 例1 如图1，在六边形ABCDEF中，AB//ED，AF//CD，BC//FE，AB=ED，AF=CD，BC=EF，又知对角线FD⊥BD，FD=24cm，BD=18cm，则六边形ABCDEF的面积为多少？ 此题显然不能直接运算，但只要将图形适当地分割并平移一下就可以了. 解：本题初看无法下手，但仔细观察，题中彼此平行且相等的线段有三组，于是产生将△DEF平移到△BAG，将△BCD平移到△GAF的位置. 则长方形BDFG的面积等于六边形的面积. 即S六ABCDEF=S正BDFG=18×24=432cm2 例2阅读下面材料： 小明遇???这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, ?AOB=?COD =90?．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积． A D C O B E B O C D A 图1 图2 小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证△OBE≌△OAD, 从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）． I H G F A B C D E 请你回答：图2中△BCE的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形 ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID． （1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为 三边长的三角形的面积等于 ． 图3 解：△BCE的面积等于 2 . （1）如图（答案不唯一）： 以EG、FH、ID的长度为三边长的 一个三角形是△EGM . （2） 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角 形的面积等于 3 ． 例3在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P. （1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数； （2）若，，求∠APE的度数. 图9 解：（1）如图9，∠APE= 45 °. 如图11，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF． 则四边形ACDF是平行四边形． ∵ ∠C=90°， ∴ 四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°． 图11 ∵ 在Rt△AEF中，， 在Rt△BDF中，， ∴ ． ∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°． ∴ ∠AFD=∠EFB． …………………4分 又∵ ， ∴ △ADF∽△EBF． ∴ ∠4=∠5． ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5， ∴ ∠APE=∠3=30°． 作业 1.现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sinα = m，则可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arc sin m来表示α，记作：α=arc sin m；若cos α = m，则记α = arc cos m；若tan α = m，则记α = arc tan m． 解决问题：如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上．连结ED，FG，交点为H． （1）如图1，若AE=BF=GD，请直接写出∠EHF= °； （2）如图2，若EF =CD，GD=AE，设∠EHF=α．请判断当点E在AB上运动时， ∠EHF的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出α．