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北京名师指导高中三数学复习---向量
HYPERLINK 选校网 HYPERLINK HYPERLINK 高考频道 HYPERLINK 专业大全 HYPERLINK 历年分数线 HYPERLINK 上万张 HYPERLINK 大学图片 HYPERLINK / 大学视频 HYPERLINK 院校库 HYPERLINK 选校网 HYPERLINK HYPERLINK 专业大全 HYPERLINK /fenshu 历年分数线 HYPERLINK 上万张大学图片 HYPERLINK 大学视频 HYPERLINK 院校库 北京名师指导高三数学复习---向量 平面向量是高中数学试验教科书中新增的一章教材,以向量为背景,一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵,在数学教学中引导学生积极探索向量在中学数学中各方面的应用,不仅可深入了解数学教科书中新增内容和传统内容的内部联系,构建合理的数学知识结构;而且有利于拓展学生的想象力,激发创新活力。显现出向量作为一个工具在数学中的重要性。 根据平面向量的定义,向量是具有大小又有方向的一种量,它兼具代数和几何的诸多特性,使之成为沟通数分形的枢纽,是解答各类数学问题的重要工具。 1、判定平面图形的形状 例1:(课本第一册(下)P151第6题)已知向量 ? 、 、 满足条件 + + = ,| | = | | =| | = 1, 求证:ΔP1P2P3是正三角形。 证明:由 + + = , 得+=- ∴|+| = |-| = || ∴= | | ∴ ++ 2·= ??? 由|| = || = || = 1,得· =-(1/2) 同理可得· =·=-(1/2) ∴ΔP1P2P3是正三角形 例2:在凸四边形ABCD中,=,=,=, =,则四边形ABCD为矩形的充要条件是·= ·= ·=? ?· 证明:先证充分性????????????????????????? ∵ + ?+ ?+ ?= , ∴+ ?=? -? (? ??+? ??) ? ∴(? ?+? ???)2=( ??+ ??)2 即| |2? +? | | 2? +2 ·=| ?|2 + |? ?|2+ 2 ?· 由条件·=? ·?????? ∴| | 2+| | 2 = | ?|2 + |? |2……① 同理得| | 2+| ?| 2=| | 2+| ?| 2…………② ①-②得| | 2= | ?| 2,得| ?|= | | 同理| | = | ?| 于是ABCD为平行四边形,从而=- ?代入条件 ·? = · 得·= ·(- ),即2 · ?= ∴ ?⊥ ??,故四边形ABCD当矩形 再证必要性。 ∵四边形ABCD为矩形 ∴ ?⊥ ?,⊥? ,⊥? ,⊥??? ∴ ?·? = ·= ?·? = ?·? =0 2、证平面几何共线和共点问题: 运用平面几何知识证明共线或点问题比较复杂,叙述也繁,而用向量共线充要条件来做显得十分方便,简洁、思路清晰。 例3:如图,求证:ΔABC的三条中线AD、BE、CF相交于一点G,且AG/AD=BG/BE=CG/CF=2/3 证明:在平面内任取一点O,设= ? = ?, = ???,又设G1为AD上一点,且=2 则 =1/3? ?+2/3 ∵D为BC中点 ∴? =1/2(? + ??) ∴ ?=1/3 ?+(2/3)×(1/2)( ?+ ?) 同样,设=2,=2 则可证得=1/3 (+ ??+ ??) ?=1/3( ?+ ?+ ) ∴ =? ?=? ??????∴G1、G2、G3三点重合 设交点为G,则有AG/AD=BG/BE=CG/CF=2/3 例4:如图,AD、BE、CF是ΔABC的三条高,求证:AD、BE、CF相交于一点????? 证明:设BE、CF相交于H,并没 = ??= ??,? ?= ?,则 ?= ??- ? = - ?,= ?- ∵⊥ ?,⊥ ∴( ?- ?)·? =0,( ?- ?)·? =0 ∴( ?- ?)·? =(- ??)· 化简得 ·( ?- ?)=0??????? ∴ ?⊥ ∴AH与AD重合 ∴AD、BE、CF相交于一点H 3、求函数的最值 可以构造一个向量和数量积性质| ?·| ≤| ?|·| |来求函数的最值。 例5:求函数y =12 ?+5 ?的最大值 解:设 ??=(12,5), ?=(? ?, ?),则| | =13,| ?|=3 ? 由| ?·|≤| |·| | 得y = | ·| ≤| |·| ?| =39 当且仅当 ?∥ 且方向相同时,不等式取“=”号 即12 ?=5 ??,解之得 x= 1915/169?? ∴当x = 1915/169时,
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