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PAGE  PAGE 38 附件2 《运筹学》最短路、最小费用最大流经典作品 关于钢管订购和运输的优化模型 队员：陈显健 陈瑜斌 陈振松 2007年6月5日  摘 要： 本文首先运用图论知识中的最短路算法求出到的最优路径。然后将模型转化为最小费用最大流的网络优化问题，从而求出近似最优解。 在分析出求解该网络优化模型的解法后，运用Lingo软件包求出了该问题的近似最优解。对问题一而言，求出了较优的订购和运输计划（见表三），其最小费用为1291630万元。对于第二个问题而言，可得出钢厂的钢管销价的变化对购运计划和总费用的影响最大；钢管厂的钢管产量的上限的变化对总费用的影响最大，钢管厂的产量上限的变化对购运计划的影响最大。对问题三，给出了一般解，求出了较优的订购和运输计划（见表四），其最小费用为1396099万元， 最后对模型进行了综合评价并提出了改进方向。 关键词：网络流 最小费用最大流 问题重述 要铺设一条的输送天然气的主管道，如图一所示,经筛选后可以生产这种主管道的钢厂有。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位）。 为了方便，1主管道称为1单位钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大生产数量为个单位，钢厂出厂销价为万元，如下表： 表一 123456780080010002000200020003000160155155160155150160 1单位钢管的铁路运价如下表： （表二） 里程（）351~400401~450451~500运价（万元）2023262932 里程（）501~600601~700701~800801~900901~1000运价（万元）3744505560 1000以上每增加1至100运价增加5万元。 公路运输费用为1单位管道每公里0.1万元（不足整公里的按整公里计算）。 管道可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。 要求： 请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小，并给出总费用。 请就（1）的模型进行分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。 如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图。铁路、公路和管道购成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出数学模型和结果。 基本假设 沿管道铺设路线上有公路，在计算运费时，与其它普通公路相同； 订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量； 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里的按整公里计算）； 1主管道钢管称为1单位钢管； 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位； 1单位钢管的铁路运价如（表二）所示，1000以上每增加1至100运价增加5万元； 管道可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）； 本问题只考虑在铁路和公路上运输的问题，而不考虑在其它路径上的情况； 每个钢管厂生产的钢管均满足铺设要求； 模型只考虑钢管销价费用和钢管从钢管厂运送到铺设点的钢管运费，而不考虑其它费用， 如转运费用等； 在公路上卸货,按铺路的要求卸车； 销售价和运输价不受市场价格变化的影响。 符号说明 第钢管厂 表示的最大生产能力 表示需要铺设管道路径上的车站 从所有运往的钢管用于铺设点前后侧的钢管数 单位产品从到地的运费 表示单位钢管从地运往地的最小费用 表示两车站之间需要铺设的管道长度 从订购钢管的单位价格 用于订购和运输的总费用 模型的建立与求解 问题一 模型的建立 对本问题而言，实际上是一个要求制定订购和运输计划，使总费用最小的优化问题。本模型的总费用包括钢管的销价和运输总的费用。首先，向某厂订购钢管，然后将在每个厂订购的钢管运往需要铺设的全路段。由本题的要求可以知道在铺设管道时必须经过点。欲解决本问题可以按以下方案进行思考：首先，需要确定将货物从地运往地的最优路线；然后，求出向每个钢管厂的订购计划，并确定出运输计划；最后计算将运往地的钢管铺到各个管道上的运输费用，我们不妨假设运往以为终点的钢管只铺到与点相邻的两段管道上。因此，本问题可以按以下步骤求解。 第一步：确定从地到地的最优路径