【原创精品资料】.《映射函数反函数》错误解题分析.docVIP

精品系列资料 传播先进教育理念 提供最佳教学方法 联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789 第  PAGE 6 页 共  NUMPAGES 6 页 2.1《映射、函数、反函数》错误解题分析 一、知识导学 1、映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射，记作f：A→B。(包括集合A、B及A到B的对应法则)2、函数： 设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数，记作 。 其中所有的输入值组成的集合A称为函数定义域。 对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域。 3、反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y) 。 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数 叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y)。 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。 二、疑难知识导析 1、对映射概念的认识 (1) 与 是不同的，即 与 上有序的。或者说：映射是有方向的， (2) 输出值的集合是集合B的子集。即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值。集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值。或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多。 (3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合。 2、对函数概念的认识 （1）对函数符号 的理解知道 y=与 的含义是一样的，它们都表示 是 的函数，其中 是自变量，是函数值，连接的纽带是法则 。是单值对应。 (2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合； （3）函???的三种表示法：解析法，列表法，和图像法。 3、对反函数概念的认识 （1）函数y=只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得。 （3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称。 三、经典例题导讲 [例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足 (a)(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数。 【错解】（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有 ，共6个映射 (2)由（1）得满足条件的映射仅有一种情况 【错因】没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清 【正解】（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有 一共有27个映射 （2）符合条件的映射共有4个 [例2]已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域 【错解】由于函数的定义域为[0，1]，即， ∴的定义域是[1，2] 【错因】对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了。 【正解】由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足 ，∴的定义域是[－1，0] [例3]已知：，求。 【错解】∵ ，∴ 故，∴＝3－3＝0。 【错因】没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去，而不是代入－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解。 【正解】∵ ， ∴＝＝＝7-5＝2　 [例4]已知的反函数是，如果与的图像有交点，那么交点必在直线上，判断此命题是否正确？ 【错解】正确 【错因】对互为反函数的图像关于直线对称这一性质理解不深，比如函数 的图像的交点中，点不在直线上，由此可以【说明】“两互为反函数图像的交点必在直线上”是不正确的。 [例5]求函数，的值域。 【错解】，又，的值域是 【错因】对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了。 【正解】配方，得 ∵，对称轴是∴当时，函数取最小值为2， 的值域是 [例6]已知，求函数的解析式。 【错解】由已知得 即，∴ 【错因】将函数错误地认为是的反函数