3_二重积分的计算(极坐标)汇编.ppt

*三、二重积分的换元法 第二节 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算 二 极坐标下二重积分的计算 (一)极坐标知识回顾 1定义: 在平面取一点O称为原点, 称为极轴. O 平面上任意点P 向量O P与极轴为夹角为 则点P由数组 唯一确定, 称数组 是点P的极坐标. P 从原点出发作一条射线 与原点距离为 曲线上点的极坐标满足的方程称为曲线的极坐标方程. O 例: 如图半径为 与极轴相切,且圆心与原点连线垂直于极轴, 求圆的极坐标方程. P 对圆上任意一点 设其极坐标为 则三角形 是直角三角形,且 故 故圆的极坐标方程为 O P 若平面上极坐标系与直角坐标系 关系如图. 对平面上的点 P 设其极坐标与直角坐标 分别是 和 则它们有关系 以下假设平面有极坐标系与直角坐标系且关系如上 2 极坐标与直角坐标的关系 法一:根据曲线的几何特征及 与 几何含义建立方程 O P 法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立 圆的直角坐标方程为 圆的极坐标方程为 如图 圆的极坐标方程为 3 曲线的极坐标方程的求法 例 如图 P 法一 法二: 圆的直角坐标方程为 故 即 故圆的极坐标方程为 例 如图 P 法一 法二: 圆的直角坐标方程为 故圆的极坐标方程为 例 如图 直线 P 法一 法二: 由直线直角坐标方程为 得 故直线极坐标方程为 记为 (二)极坐标下的 型简单区域 定义: 若区域D在极坐标下是由 及 其中 围成. 则称D为极坐标下的 型简单区域 特征 若区域D的 的取值为 对 从原点出发以 为角做射线与区域边界交点至多两个: 为什么引用极坐标计算二重积分 2 1 D D1 D2 D3 D4 D: . 怎么计算？ 需使用极坐标系！ 此题用直角系算麻烦 必须把D分块儿! 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例. 其中D 为 解: 将 转化为二次积分, D D1 D2 D3 D4 分割D 为 又如计算 其中 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角坐标计算. 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本题解法见后面例题8 还可举例 极坐标系下的面积元素 将 变换到极坐标系 0 D ?i ri ri+1 . . . . . . 利用极坐标计算二重积分 ??i ??i ?i +??i I = ?ri r . . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 用坐标线: ? =常数；r =常数 分割区域 D 怎样利用极坐标计算二重积分(1) 1.极点不在区域 D 的内部 0 A B F E ? ? ? D D: r r 0 A B F E ? ? D D: . 1.极点不在区域 D 的内部 r 0 A B F E ? ? D D: . 步骤： 1 从D的图形找出 r, ?上、下限； 2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd? . 1.极点不在区域 D 的内部 r 2.极点位于区域 D 的内部 0 ? D r D: 怎样利用极坐标计算二重积分(2) r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? D: D 0 . 2.极点位于区域 D 的内部 r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? D: . D 0 步骤： 1 从D的图形找出 r, ?上、下限； 2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd? . 2.极点位于区域 D 的内部 r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2a ? . . 解 例1. . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （第一象限部分） (极点不在区域 D 的内部) 此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！ 2 1 D D: 变换到极坐标系 . . ? 例2. 计算 D: ? =1和 ? =2 围成 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2续 其中D 为 计算 D D1 D2 D3 D4 解: 在极坐标系下 故 2R 区域边界： x = 0 . ? 即 r =2Rsin? r =2Rsin? 例3. . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 2 y =x D . . ? 例4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 r = 4 cos? r = 8 cos? 8 D ?1 ?2 例5. 计算 y = 2x x = y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 y x r = 8 cos? D 4 8 . r