南开大学数学分析考研试题及解答.docVIP

PAGE  PAGE 6 南开大学2005年数学分析考研试题 计算二重积分，其中. 设为由方程组确定的隐函数，求. 求极限. 求证在上连续. 判断级数的敛散性. 设函数在上连续可导，且， 求证在上一致收敛； 设，求证在上连续可导. 设，在全平面上有连续的偏导数，并且对任何一个圆周, 有，求证. 设在上两次可导，，， 并且对任何，有.设， 求证； 求证存在,使得；（3）求证. 设和在区间内有定义，对任何， 有， 求证：（1）在内左导数、右导数存在； （2）对任意， (3) 在内连续。 南开大学2005年数学分析考研试题的解答 1、解 . 2、解 ， 其中由 求出， 。 3、解 原式. 4、证明 设，， 显然对任意，一致有界， 对每，在上单调，， 且当时，一致趋于0， 根据狄利克雷判别法，得在上一致收敛， 又在上连续， 故在上连续。 5.解法1由泰勒公式， 则， 而后者收敛，则原级数收敛。 解法2 利用,得 原式 ，所以原级数收敛。 6、证明 由于函数在上连续可导，且，在上连续，且有界，设； 由拉格朗日中值定理， 而收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。 因为所以一致收敛, 于是可以逐项求导，且,它是连续的，故连续可导. 7、证明 用反证法：假设存在，有， 不妨设，由连续函数的局部保号性，知道存在的一个邻域， 当时，有， 则存在一个圆周，，这与已知条件矛盾。 所以结论得证。 8、证明 当时，， 时，， 综上，成立； 用反证法，若对任意的，有， 则在时，不存在，矛盾。所以在,使得； 由（1）、（2）知， 在上，，但与不恒等， 所以， ，故。 9、证明 （1）对任意，由题设条件，得 ，， 从而得到 ， 即，于是在上是凸函数， 由此而来，成立， 进而，关于是单调递增的，关于是单调递增的。 （2）对任意固定，任取 则有 ， 则 ，关于单调递增，且有下界，于是存在右极限， 即存在，同理可证存在，由极限的保不等式性，可得 。 于是在内右导数存在，在内左导数存在，且 。 (3)对任意 , , ， 令，从而有 ，； 于是有，， 即得在上是Lipschitz连续的,从而在上是连续, 故可得知在内连续. ???有端点时，在断点处未必连续. （注：在上未必有界。 例如，，在上是无界的。） 例1 设，显然此函数在上是凸函数, 但是在上无最小值，在处不连续. 例2 设，， 在上是凸函数，且有下界， 但是在上无最小值. 例3 在上是连续的凸函数； 当时，， 在上无界， 在上不是Lipschitz连续的。 例4 在上是凸函数，在上不是Lipschitz连续的。 例5 设是上的连续凸函数，试证在上是绝对连续的。 证明 由于是上的凸函数，利用已得结果， 对任意，在上是Lipschitz连续的, 从而在上是绝对连续的， 于是，存在可积函数，使得，； 由的任意性，可得，存在上的局部可积函数， 使得，， 再由是上的连续函数，可知收敛，且， ， 所以在上可积，且成立，， 即得在上是绝对连续的。 设是上的连续凸函数，且在内可导， 试证在上单调递增， 收敛。