第二十四讲 相似矩阵的概念.pptVIP

微分方程 * * 第二讲 相似矩阵的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、方阵相似对角化的条件 一、相似矩阵的概念 第五章 相似矩阵与二次型 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 一、相似矩阵的概念 定义 设 A , B 为 n 阶矩阵, P 为 n 阶可逆 矩阵, 且 P -1AP = B , 对 A 进行运算P -1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 例如： 因为 所以A与B相似. 二、相似矩阵与相似变换的性质 相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系具有下面的性质: (1)反身性 . 本身相似 与 A A (2)对称性 . , 相似 与 则 相似 与 若 A B B A (3)传递性 . , , 相似 与 则 相似 与 相似 与 若 C A C B B A 以下设A，B 是同阶矩阵. 因而 A与B有相同的特征多项式和特征值. 性质 1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则 |A - ?E| = |B - ?E| , 相似的矩阵具有一些共性，也称为相似不变性： 证明: 因为 A与B相似, 所以存在可逆矩阵P使得 相似变换是不改变特征值的变换 推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 ? = diag(?1 , ?2 , … , ?n) 相似，则 ?1 , ?2 , … , ?n 即是 A 的 n 个特征值. g(A) 与 g(B) 相似. 证明略. 性质3 若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是 正整数, g(x) = a0xm + a1xm-1 + … + am , 则 kA 与 kB 相似, Am 与 Bm 相似, 性质2 若矩阵 A 与矩阵 B 相似,且矩阵 A 可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似. 例1 设 与 相似. 试求 之值. 解：根据相似矩阵的性质知，5，-4是A的特征值， 所以 由第二个等式得x=4， 又tr(A)=tr( )，可得 y=5. 些运算. 例2 设 在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如 果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某 请看下例 计算Ak . 解 用“二调一除”法，可得 容易验证 记为 ? . 于是 由此可得 直接计算, 运算量很 大也不易 找出规律. 利用A 相 似于对角 矩阵的性 质. 相应的可逆矩阵 P ? 那么, 是否每个矩阵都能相似于对角矩阵? 如 果能相似于对角矩阵, 怎样求出这个对角矩阵及 下面我们就来讨论这个问题. 为把矩阵A对角化． 若矩阵A与对角矩阵相似，则称 A 能对角化， 求相似变换矩阵P，使P–1AP = ? 为对角矩阵称 定理 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵 ? 的充 要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值, 则A 必能相似于对角矩阵. 根据特征向量的性质：“属于不同特征值的特征向量线性无关” 知, 若A有n个不同的特征值，则A必有n个线性无关的特征向量，因此A可以对角化. 有重特征值的方阵A，有可能不可对角化，也有可能可对角化. 方阵A能否对角化, 关键在于属于多重特征值的线性无关特征向量的个数. 三、矩阵可对角化的条件