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多时段市场问题总结
多时段市场问题总结 §7.1 多时段市场的一般描述 一、测度论中一些基本概念及相关定理 定义1.0 设有限个离散时刻,设为一个有限集合(样本空间),为的子 集全体,为上的一个概率测度.又设为的子集族,且 , (1.1) 若对每个子集族.满足下述条件: (1.2) 当(l.2)成立时,称为一个域,称(1.1)为一个域流.集合中的每个元素表示时刻可能发生的一个事件.比如作为事件在时刻发生,它表示在时刻状态之一发生,因此,称为时刻的事件集. 定义1.0.1 对每个,存在的一个剖分,即 (1.3) 使得 , (1.4) 我们称上面的为的生成元,称每个为中的基本事件,于是,称为的生成元集或基本事件集. (1.5) 定义1.1.1 称是一个-可测的随机变量,如果 , (1.13) 称随机过程是-适应的,如果(1.13)对所有的都成立. 命题1.2 假定为上的一个域,其生成元集为.设,则是-可测的充要条件是它在每个上是常数. 当为随机过程时,称为一个向量值随机过程;称为-适应 推论1.3 向量值随机过程为-适应的,当且仅当对每个i, 在每个上是一个常值向量. 二、条件数学期望 定义1.4 对于给定的,我们称随机变量为关于的条件数学期望,如果是-可测的,并且对任何的均有 (1.16) 此时,我们记=. 命题1.5 假定为一个带域流的概率空间,假设每个域的生成元集为 ,并且,,设是一个随机变量,则有 (1.17) 命题1.6 如果为两个随机变量,是-可测的,则 (注意注1.1.2). (1.20) 命题1.6 如果为两个随机变量,是-可测的,则 (注意注1.1.2). (1.20) 三、鞅 定义1.7 假如一个-适应的随机过程具有下述性质: . (1.21) 则称之为一个P-鞅. 定义1.7.1 随机过程满足如下条件:对每个i 0,是-可测的,即的确定 仅仅用到时刻: t=i-1及以前的信息,这样的过程称为是-可料的. 四、策略过程的自融资性 定义1.8 设,随机过程称为上的一个策略过程,如果 是一个-可料过程,进一步,策略过程称为是在上自融资的,如果 (1.24) 由(l.24),我们可得,对于自融资策略, , (1.30) (1.31) , (1.32) 命题1.9 设,为任何一个取值于的-可料过程,为一个- 可测的随机变量,则存在取值于的-可料过程,使得为一个 上的自融资策略,且满足 , (1.33) §7.2 二叉树模型 一、单时段市场“二叉树模型” ,, (2.1) ,, (2.2) ,
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