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几类图的距离谱 摘要： 连通图G的距离矩阵的特征值也就是距离矩阵D-特征值，和图G的D-谱半径的形式，图G的D-能量指的就是G的D-特征值的绝对值的和。如果他们有相等的D-能量，那这两个图就被认为是D- 等能量。图的D-谱和D-能量就可以被计算出来。找到一对关于24t(t3)的二部图的最高点。 关键词： 距离特征值；距离谱；距离能量；等距离能量图； 美国数学分类号：05C12, 05C50 引言 设有一个顶点集为V(G)={v1,v2,... ,vp}的连通图，图的距离矩阵D=D(G)的距离（i,j）和d(vi,vj)相等.图G的顶点vi和vj之间的最短距离[2]就是图G的D-特征值和D-谱形式，记为spec(G). 普通光谱图的特征值是由邻接矩阵组成的[4].在下面我们用 λi ,i=1,2,... ,p表示图G的普通特征值，并且用spec(G)表示他们各自的谱. 因为距离矩阵是对称的，其所有的特征值μi ,i=1,2,... ,p,是真实的和可以被标注的，以至于有μ1≥μ2≥ ··· ≥μp.这样如果μi1 μi2 ···μig是明显的D-特征值，那么D-谱就可以写成 　 spec(G)= Mj表示特征值μij的代数重数，并有m1+m2+···+mg=p. 有两个图，G和H，若specD(G)=specD(H)，则他们就是同谱的，否则就是不同谱。图的D-能量ED(G)可定义为 E(G)= 具有相同D-能量的两个图就是D-等能量。D-同谱图显然也是D-等能量。因此,在接下来我们重点注意 D-等能量但不是 D-同谱图表。 最近D-能量的概念 Eq（1）已经研究出现[11]。这个定义经过多次研究[7],并且现在又进一步广泛研究[8、9、10 、13、14、15、16)能量图，定义的方式完全类似于D-能量Eq。(1),但在普通图特征值(邻接矩阵的特征值,请参阅[4])。　　 在本文中,我们首先得到Hoffman-type距离矩阵的关系距离正则图。通过它,就能得到距离的谱图和他们的能量。也对 D-等能量双边24 t,t≥3,构造顶点。本文所有图都是简单图，我们遵循[4]谱图的理论术语。 在随后的部分里，用到的都是下面的引理： 引理1[4]:一个带有邻接矩阵A的图G，并且spec(G)={λ1, λ2,... ,λp}.矩阵A=。另外，对于多项式P(x), P(λ)是P(A)的特征值，因此P(A)= 引理2[5]: A= 矩阵A是一个2×2的对称矩阵，A的特征值是A+A再加上 A-A 引理3[4]: M,N,P,Q是四个矩阵，并且M是可逆的 S= 矩阵S=detMdet(Q?PM N)。除此之外，如果矩阵M和矩阵P是可交换的，那么矩阵S=det(MQ?PN) 引理4[4]: 图G是连接R-常规图，r≥3，并且普通 频谱规范spec(G){R，λ2，...，λP} 引理5[见[4]]：对于 t≥3，存在于2吨顶点的一对非同谱 图立方图。 引理6[见[6]]的循环的距离谱的C n由下式给出 数字n 最大特征值 J偶 J奇 偶数 0 奇数 定义1[见[12]。设G是顶点SETV（G）={V1，V2，...，VP}图。 取的G另一个副本与标记由{U1，U2，...，向上}其中UI对应至vi为相邻的N（ⅵ）在G中所有顶点的每个i.Make UI，对于顶点 每次我。所得曲线，记为D2G，称为图G的双图表 定义2[见[4]。设G是一个图。附加挂件顶点到每个 G的顶点将所得图形，记为G?K1，被称为的G与电晕 K1。 我们首先证明以下辅助定理。 定理1.Let M为一个真正的对称束缚平方米p阶矩阵 其中每一行总和等于一个常数k.Then存在多项式Q（x）的 使得Q（M）= j的，其中J是所有一平方矩阵，其顺序是相同 那个M的 证明。由于M是实对称矩阵的不可约在每行款项 为k，通过弗罗贝纽斯定理[4]，k是M的简单和最大特征值 矩阵M是对角化，因为它是真正的和对称的。因此存在M的特性矢量的正交基，与特征值相关联的M的 让λ1= K，λ2，...，λg是M.Let的鲜明特征值？（λI）是 特征空间的一组正交特征向量的跨越 与λI关联，I =1,2，...，g.Then M具有频谱分解 其中是M的投影 ，处理M用的线性运算。然后， ， 现在，对应于M的最大特征值K，存在唯一的（一维）正交基 ，因此 定理2设D是一个连接距离正则图的距离矩阵 G.Then D是不可约的和存在一个多项式P（x）的，使得P（D）= j的。在这种情况下 其中k是每行的唯一总和也是D最