初中培优竞赛元次方程.docVIP

一、选择题 1. （3、4）（数学、初中数学竞赛、根式方程、二元一次方程、选择题） 方程x2+y2+22=x+y+2的整数解有 ( ) A. 1组 B . 3组 C . 6组 D . 无穷多组 分析：由题意知χ+y≧0，方程化简得xy+2x+y=0,x+2y+2=4. 因为χy≦0， 所以上式就分成2×2,1×4，两种情况，对应的整数解有3组. 答案:B 技巧：将方程化简，在进行因式分解，最后根据整数解来进行情况讨论. 易错点：容易将题中一些隐含性的条件弄掉，从而造成错解. 2.（2、3）（数学、初中数学竞赛、等腰梯形计算、一元二次方程、选择题） 如果某个等腰梯形的下底与对角线长都是10，梯形的上底与高相等，则上底的长是 ( ) A . 52 B . 62 C . 5 D . 6 分析：设上底长为x，由勾股定理得(10-x2+x)2+x2=100，整理得x2+4x-60=0.解得 x1=6,x2=-10（舍去）. 答案：D . 技巧：根据图形用勾股定理. 易错点：注意方程两根的取舍. 3. （2、3）（数学、初中数学竞赛、一元二次方程、选择题） 关于x的一元二次方程4x2+4mx+m2+m-10=0(m为正整数）有整数根时，m的值可以取 ( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 分析：因为χ=-4m±16(10-m)8 , 要使根为整数，则需对m=1,9,6,10.分别进行讨论. 详解：由求根公式得χ=-m±10-m2.当m=1时，对应的χ为1、-2成立；当m=9时，对应的χ为4、-5成立；当=6时，对应的χ为-4、-2成立；当m=10时，对应的χ为-2.所以m的值有4个. 答案：D 技巧：先用求根公式表示出根，再根据题目条件进行讨论. 易错点：容易漏掉讨论情况. 4.（2007年“数学周报”杯竞赛题）方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解(x，y) 的个数( ) A.0 B.1 C.3 D.无穷多 5.（2006年浙江省竞赛题）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若a，b都是 偶数，c是奇数，则这个方程 ( ) A.有整数根 B.没有整数根 C.没有有理数根 D.没有实数根 6.（第21届江苏省竞赛题）设x1 ,x2是方程x2+x-4=0的两个实数根，则x13- 5x22+10 的值为 A . -29 B . -19 C . -15 D . -9 7.（2001年山东省竞赛题）甲、乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A和B.若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲的速度与乙的速度之比为 ( ) A.3：5 B.1:3 C.4：5 D.3：4 8.（2007年浙江省竞赛题）把三个连续的正整数a.b.c按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x2+□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系 数、一次项系数和常数项，则使所得方程至少有一个整数根的a，b，c ( ) A.不存在 B.有一组 C.有两组 n多于两组 9.（2007年数学周报杯竞赛题）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0, bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则a2bc+b2ca+c2ab的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10.（2006年全国初中数学联赛题）关于x的方程|x2x-1|=a仅有两个不同的实根， 则实数a的取值范围是 ( ) A.a0B.a≥4C.2a4D.0a4 二、填空题 11.（3、4）（数学、初中数学竞赛、一元二次方程、填空题） 二次多项式x2+2kx-3k2能被x-l整除，k=_______ 分析：由题意知该二次多项式对应的关于χ的一元二次方程的根为1，将根代入得到关于k的一元二次方程，求解即得. 详解：方程x2+2kx-3k2=0的一根为1，所以有1+2k-3k2=0.解得：k=1;k=-13? 技巧：像这种类型的题需要将多项式对应成 来解. 易错点：连续两次对应方程和解得时候要注意，容易出错. 12. （3、4）（数学、初中数学竞赛、一元二次方程、填空题） 若关于x的一元二次方程x2+2kx+14-k=0有两个实根，则k的取值范_______ 分析：因为有两实根，所以只需保证Δ≥0. 详解：由题意知Δ=4k2-4(14-k)=4k2+4k-1=(2k+1)2-2≥0.解得 |2k+1|≥2.由此得2k+1≥2或2k+1≤-2.所以k≥2-12，k≤-2+12. 技巧：利用根与系数的判别式来处理. 易错点：在开根号、去绝对值时要注意. 13. （3、4）（数学、初中数学竞赛、一元