刘阳线性代数版习题解答.docVIP

第四章 向量空间习题解答 本章需要掌握的是： 1）向量的定义及向量与线性方程组如何转化，和向量组与矩阵如何转化； 2）了解什么叫做线性组合（线性表示），熟练掌握线性无关与线性相关的定义；掌握线性相关与线性表出的关系； 3）熟练掌握向量组的秩与极大无关组； 4）熟练掌握线性方程组解的判别条件； 5）熟练掌握向量空间与基； 6）熟练掌握齐次线性方程组解的结构与非齐次线性方程组解的结构，掌握基础解系的概念，和通解的写法。 习题4（A）解析 10．求向量组的一个极大线性无关组和秩，并把其余向量用极大无关组线性表示。 （3） 【题型解析】该题直接考核的就是向量组的秩与极大无关组，通常如果只需求秩或无关组，只要将各向量均写成列向量组（初等行变换不改变列向量组的线性组合关系），然后化成行阶梯即可。在转化的行阶梯中，非零行的个数即是该向量组的秩，而首非零元所在列就是其中一个极大无关组。而如果不仅要求秩和无关组，还需写出其余向量用极大无关组表示，如本题，就需要化成行最简形，则可以直接写出线性表达式。 解： R(A)=2， % 因为化成行最简后，非零行的个数为2 极大无关组， % 因为首非零元所在列为第1,2列 % 由行最简形的第3,4列可得 14.设A是n阶可逆方阵，则n维向量线性无关的充要条件是线性无关。 【题型解析】此题考核的是线性无关的定义以及秩的性质。通常只要碰到证明题让证明线性相关与线性无关的，都可以用定义来证明。所以要熟练掌握线性相关和无关的定义！ 解：解法1，定义法 （1）线性无关，则其中， （2）线性无关，则其中， 所以 解法2：秩的性质（以下简写） 因为A可逆，所以 % 矩阵秩的性质4，P77 又因为与都是r个n维向量组成的列向量组，且rn 所以两者的列向量均线性无关 20.设中的两个基和已知从基到基的过渡矩阵为，求基向量 【题型解析】此题考核的是基变换公式，题中已经直接给出了过渡矩阵，所以直接按基变换公式求解即可。如果题中没有给出过渡矩阵，则需要用单位向量来引出过渡矩阵。 解： % 基变换公式 22.试用施密特正交化方法把下列列向量组正交化。 （1） 【题型解析】此题考核的是施密特正交化，只需记住该公式并按该公式求解。前提是要掌握内积的求解公式，即。注意本题只要求正交化。如要求单位化，还应该继续将求得的每个向量单位化。 解： 24.设x为n维列向量且令求证：是对称的正交矩阵。 【题型解析】此题是个基本题，考核的是对称和正交的定义，即要证明。此处还涉及到矩阵转置的一些性质。 证： 26.解非齐次线性方程组 【题型解析】此题是个基本题，考核的是非齐次线性方程组解的结构，即非齐次线性方程组的通解等于自己的一个特解与其导出组的基础解系的加和，即，所以同时此题还考核了齐次线性方程组基础解系的求解。无论是求解非齐次还是齐次，第一步必然是把增广矩阵或系数矩阵写出来，然后初等行变换到最简形矩阵；第二步是将最简形矩阵再写成同解方程组；第三步是由通解方程组看出设其中哪些变量为自由未知量，并写出解的向量形式，即可求得通解。 解：1）将增广矩阵化成行最简形，如下 注：每年求基础解系或是通解都必有一道大题，但是通常是进行提升后的综合题型，不会仅仅考基本题，所以希望童鞋们多加练习求齐次或非齐次线性方程组的通解！ 28．设 （1）为何值时，可由唯一线性表示？ （2）为何值时，可由不唯一线性表示？ （3）为何值时，不能由线性表示？ 【题型分析】此题考核的是向量的线性表示与方程组解的判别之间的关系，所用到的求解方法是第三章的内容，即。需要明确的是，1）唯一线性表示指的是有唯一解；2）不唯一线性表示指的是有无穷多解；3）不能线性表示指的是无解。此题的难点在于这些向量组成的增广矩阵很难化成行最简。 解： 31.设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩。是该方程组的两个解，且有 求该方程组的通解。 【题型分析】此题考核的是关于非齐次与其导出组之间的关系，灵活应用两者解的表达式。即 32.设是齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明： （1），线性无关 （2）线性无关 【题型分析】此题考核的知识点是齐次线性方程组的基础解系的定义和性质，并且同上分析，只要涉及证明哪些向量线性无关的，通常都用线性无关的定义来求解或证明。 35.若阶方阵满足证明： 【题型分析】此题考核的是矩阵的秩的性质，矩阵秩总共有9条性质，要牢记后才能灵活应用。而通常要证明什么秩等于n，都会通过证明这个秩既大于等于n，又小于等于n来得到证明结果。 该题用到矩阵性质6和性质9。 36.若A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，证明： 【题型分析】此题考核的是，结合伴