【创新设计】（江苏专用）高考数学二轮总复习 导数的简单应用训练试题 文.docVIP

常考问题3　导数的简单应用 (建议用时：50分钟) 1．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________． 解析　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]． 答案　(0,1] 2．(2013·扬州质量检测)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________． 解析　根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)． 答案　(－1,0) 3．已知函数y＝f(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf′(x)0的解集为________． 解析　xf′(x)0或 当x时，f(x)单调递减，此时f′(x)0. 当x(－∞，0)时，f(x)单调递增，此时f′(x)0. 答案　 4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______． 解析　由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为 f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a0，解得a2. 答案　(，2) 5．(2013·苏锡常镇调研)已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为________． 解析　因为函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，所以函数g(x)＝ax3＋bx在[0,1]上的最大值为2，而g(x)是奇函数，所以g(x)在[－1,0]上的最小值为－2，故f(x)在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－. 答案　－ 6．设P为曲线C：f(x)＝x2－x＋1上的点，曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[－1,3]，则点P的纵坐标的取值范围是________． 解析　设P(x0，y0)，则f′(x)＝2x－1. －1≤2x0－1≤3，即0≤x0≤2. y0＝f(x0)＝x－x0＋1＝2＋， x0∈[0,2]，≤y0≤3， 故点P的纵坐标的取值范围是. 答案　 7．已知函数f(x)＝aln x＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________． 解析　f(x)＝aln x＋x.f′(x)＝＋1. 又f(x)在[2,3]上单调递增，＋1≥0在x[2,3]上恒成立，a≥(－x)max＝－2，a∈[－2，＋∞)． 答案　[－2，＋∞) 8．(2013·盐城调研)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________． 解析　依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b， f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，a＋b＝6. 又a0，b0，ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，ab的最大值为9. 答案　9 9．已知f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围． 解　(1)f(x)＝ex－ax－1(xR)，f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a.当a≤0时，f′(x)0在R上恒成立；当a0时，有x≥ln a．综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)． (2)由(1)知f′(x)＝ex－a.f(x)在R上单调递增， f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成立． x∈R时，ex0，a≤0， 即a的取值范围是(－∞，0]． 10．(2013·西安五校二次联考)已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x，aR. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值； (2)求f(x)的单调区间． 解　f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x0)． (1)由题意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝. (2)f′(x)＝(x0)． 当a≤0时，x0，ax－10.在区间(0,2)上，f′(x)0；在区间(2，＋∞)上，f′(x)0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． 当0a时，2.在区间(0,2)和上，f′(x)0；在区间上，f′(x)0. 故f(x)的单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是. 当a＝时，f′(x)＝≥0， 故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)． 当a时，02，在区间和(2，＋∞)上，f′(x)0；在区间上，f′(x)0. 故f(x)的单调