【课堂新坐标】（安徽专用）高考数学一轮总复习 第四章 平面向量与复数 第3节 课后限时自测 理.docVIP

【课堂新坐标】（安徽专用）2015届高考数学一轮总复习 第四章 平面向量与复数 第3节 课后限时自测 理 一、选择题 1．设xR，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且ab，则|a＋b|＝(　　) A.　　　B.　　　C．2　　　D．10 【解析】　a⊥b， a·b＝0，x＝2，a＝(2,1)，a2＝5，b2＝5， |a＋b|＝＝＝＝. 【答案】　B 2．(2014·广州模拟)若向量a，b，c满足ab且ac，则c·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 【解析】　a⊥c，a·c＝0， 又a∥b，则设b＝λa， c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0. 【答案】　D 3．已知三个向量a，b，c两两所夹的角都为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b与向量c的夹角θ的值为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 【解析】　(a＋b)·c＝a·c＋b·c ＝1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－， |a＋b|＝＝ ＝＝， cos θ＝＝＝－， 0°≤θ≤180°，θ＝150°. 【答案】　D 4．(2013·合肥名校三模)在平面四边形ABCD中，若AC＝，BD＝2，则(＋)·(＋)＝(　　) 图4－3－1 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由向量的加法和减法可知(＋)·(＋)＝(＋＋－)·(＋)＝2－2＝5－4＝1. 【答案】　A 5．(2013·马鞍山两校高三第二次联考)对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 【解析】　当a·b＝0时，a与b也可能垂直，故选项A是假命题； 当a2＝b2时，|a|＝|b|，故选项C是假命题； 当a·b＝a·c时，b与c也可能垂直，故选项D是假命题，选B. 【答案】　B 二、填空题 6．(2013·课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________. 【解析】　|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°. c＝ta＋(1－t)b，b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－. b·c＝0，1－＝0，t＝2. 【答案】　2 7．(2014·武汉调研)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则 (1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________． 【解析】　(1)2a＋b＝(3,1)， |2a＋b|＝＝. 与2a＋b同向的单位向量＝. (2)b－3a＝(－2,1)，|b－3a|＝，|a|＝1， (b－3a)·a＝(－2,1)·(1,0)＝－2， cos〈b－3a，a〉＝＝＝－. 【答案】　(1)　(2)－ 8．(2013·浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________． 【解析】　依题意，|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝， 2＝＝ ＝＝ ＝＝. 因为2＋≥， 所以0＜2≤4. 则0＜≤2，故的最大值为2. 【答案】　2 三、解答题 9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 【解】　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则 ＋＝(2,6)，－＝(4,4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的两条对角线长分别为4，2. (2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)． 由(－t)·＝0， 得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－. 10．(2013·江苏高考)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a－b|＝，求证：ab； (2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． 【解】　(1)证明　由题意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故ab. (2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝，而α＞β，所以α＝，β＝. B组　能力提升 1．(201