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超级布朗尼烤锅 摘要 随着经济的发展，越来越多的烤箱进入人们的日常生活，烘烤食物成为了最普通的需求之一。人们对不同烤盘烘烤食物的满意度也不同，矩形的烤盘热量集中在四角处，容易使食物烤糊；圆形的烤盘热量可以均匀分布，但是烤箱的空间使用效率不高。由此建立最佳的烤盘选择满意度模型有着很重要的实际意义。 问题一：对于烤箱的形状、加热管的对称性和审美效果，为了是食物各个角或边加热情况相同，选用的烤盘形状尽可能对称。这里，运用几何图示法，观察并分析对称形状烤盘，得出目标函数空间使用效率表达式，根据柯西不等式，得出最佳的烤盘形状可以达到空间使用效率最高。 问题二：为了进一步反应烤箱内部的温度变化，我们采用极小化算法模拟出加热杆产生的温度场。发现烤箱内壁上端距离烤箱较近，受到的热辐射比较强，烤箱内壁大多数为金属材料，热传导系数很大，烤箱内壁各处很快就可以达到相同的温度，所以烤箱内壁近似可以看作是一个发热的平面。然后运用有限元分析法得出不同形状的烤盘温度分布函数，通过Matlab软件，画出矩形、圆和椭圆的温度分布图，更加清楚的发现：在角的对角线上，热量的分布延角平均线递减。而顶角处得两条边的法线之间的部分则为两个烤箱内壁共同作用的结果。并最终根据这一特点，确立了烤盘温度分布指标函数表达式，通过计算得出当越大，越小，烤盘周围热量分布越均匀，烘烤的食物受到烤盘顶角的影响就越小。由于圆上的各点的法线只有一条，即法线之间的夹角为0，故对于圆上的各点，聚集的热量相同，即在圆形的烤盘周围热量分布比较均匀。 问题三：优化组合问题1和问题2，使得权重p和(1- p)能够描述随着W/L和p值的改变，最佳的烤盘形状和热量分布情况是如何改变的。烤箱空间利用率越大，烤盘温度分布指标越小，顾客对烤盘就越满意。建立最优化模型，从而确立最佳的烤盘形状。并假设烤箱的面积，烤盘的面，时 通过计算n=4即矩形时，F取最大值，此时顾客对烤盘的满意度最大。 关键词：几何图示法 极小化算法 有限元分析 最优化模型 一、问题重述 终极布朗尼烤锅 当用一个长方形的平底锅（盘）烘烤时，热量被集中在4个角，在角落处，食物可能被烤焦了，而边缘处烤的不够熟。在一个圆形的平底锅（盘）热量被均匀地分布在整个外边缘，在边缘处食物不会被烤焦。但是，大多数的烤箱的形状是矩形的，采用了圆形的锅（盘）相对于烤箱的使用空间而言效率不高。为所有形状的锅（盘）----包括从矩形到圆形以及中间的形状，建立一个模型来表示整个锅（盘）的外边缘热量的分布。 假设：1. 形状是矩形的烤箱 宽长比为W/L；2. 每个烤锅（盘）的面积为A；3. 每个烤箱最初只有两个均匀放置的烤架。 根据以下条件，建立一个能使用的最佳类型或形状的烤锅（盘）：1.放入烤箱里的烤锅（盘）数量的最大值为(N)； 2.烤锅（盘）的平均分布热量最大值为(H)； 3.优化组合条件1和条件2，使得权重p和(1- p)能够描述随着W/L和p值的改变，最佳的烤锅形状和热量分布情况是如何改变的。 除了完成规定的解决方案，为布朗尼美食家杂志准备一到两页的宣传广告，需要突出你的设计和结果。 二、问题分析 2.1 对问题一的分析 对于烤箱的形状、加热管的对称性和审美效果，为了是食物各个角或边加热情况相同，选用的烤盘形状尽可能对称，如正六边形、正八边形……圆等。如果不考虑烘箱加热情况（即食物是否烤焦情况），什么形状的烤盘放入到一个确定面积的烤箱的空间使用效率最高，通过建立利用率模型。再次，运用几何图示法，可以以正六边形为例，观察计算六边形的空间利用率，观察并分析对称形状烤盘，得出目标函数空间使用效率表达式，求出边长和宽的关系，最终得出正多边形的面积最大利用率可以取得最大值并最终得出最佳的烤盘形状。 2.2 问题二的分析 针对问题二，文中要求让烤盘的热量平均分布热量最大，大多数烤箱，采用双杆加热装置，即在烤箱的顶部和底部均有两个加热杆作为热源，烤箱中有两个烤架烤架上放上烤盘就可以烤食物了。用了两种方法来模拟烤盘内热量的分布：最速下降法和牛顿法。最速下降法是以负梯度方向的极小化算法，相邻两次的有哪些信誉好的足球投注网站方向是相互直交的寻找目标函数法。牛顿法利用目标函数的迭代点公式模型，并利用这个二次模型函数的极小点序列去逼近目标函数的极小点。通过利用分析烤箱内温度场的分布，通过对发热杆热辐射分析，利用matlab软件模拟发现随着离发热杆的远离，辐射的的热量随距离的变化关系，接着建立有限元分析模型，同时考虑热传导和热辐射，运用Matlab软件分别模拟出了从矩形到圆形以及中间的形状（椭圆）的温度场分布模型，最后建立最佳烤盘分析模型。 2.3 问题三的分析 问题三是需要优化组合条件1和条件2，使得权重p和(1- p)能够描述随着W/L和p值的改变