七向量代数与空间解析几何.docVIP

第七章 向量代数与空间解析几何 讲授内容：§7-1向量及其线性运算 教学目的与要求： 1．理解向量概念. 2．掌握向量的加减以及数乘运算律，掌握两向量平行的充要条件. 教学重难点： 重点――向量的线性运算. 难点――两向量平行的条件的运用. 教学方法：讲授法 教学建议： 掌握用向量的理论证明几何问题. 学时： 2学时 教学过程： 向量概念 向量: 既有大小又有方向的量. 向量在数学上的表示: 有向线段AB表示以A为起点，B为终点的向量. 其中| AB|表示向量的大小; 有向线段的方向表示向量方向 或者表示为: a、b、c 或者 、、等. 自由向量: 与起点无关的向量. 向量 a=b ( 大小相等、方向相同. 向量的模: 向量的大小| AB| . 单位向量: 模等于1的向量. 零向量: 模等于0的向量,记作0,或者,起点与终点重合,方向任意. 向量a∥b: 两个非零向量的方向相同或相反.零向量与任意向量平行. 两向量共线: 两向量平行时,当将起点放在一起时,终点在同一直线上; k个向量共面: k个向量起点放在同一点时,起点和终点在同一平面上. 例: 把空间中的一切单位向量归结到共同的始点，他们的终点构成单位球面 向量的线性运算 向量的加法 设有向量a与b,任取一点A,作AB=a,再以B为终点,作BC=b,连接AC,则AC=c, 称为a与b的和,记作c=a+b. 三角形法则 平行四边形法则 加法的运算规律 交换律a+b=b+a 结合律(a+b)+c= a+(b+c) (结合律示意图) (s=a1+a2+a3+a4+a5示意图) 推广: 任意有限个向量,,…, 的和可记为++…+.作图法,由向量的三角形求和法则推广到 多边形法则 即 （当A n与O重合时） 向量的减法 a的负向量: 与a的模相同,方向相反的向量.记作 –a . a－b ? a+(- b) 任给向量AB及点O,有: AB=AO+OB=OB-OA. 三角形原理: | a+b |≤| a |+| b |; | a – b |≤| a |+| b |; 向量与数的乘法 向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量, 其模为: |λa|=λ|a|, 其方向为: 当λ0时 与a相同, 当λ0时 与a相反. 运算规律: 结合律: λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a. 分配律: (λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+μb. 向量的线性运算: 向量相加及数乘向量 两向量平行的充分必要条件 定理:设向量a≠0,则向量b∥a ( (| λ(R: 使b=λa. 证明:充分性显然 (必要性) 设b∥a. 取 |λ|=|b|/|a|,且规定: b与a同向时,λ0; b与a反向时,λ0. 则有: b=λa. 唯一性 设b=λa ,b=μa ,则 (λ－μ)a=0 ( |λ－μ||a|=0 因|a|≠0, ( λ=μ 向量a的单位向量ea: ea=a/|a|. 在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.试用a和b表示向量MA, MB, MC, MD,这里M是平行四边形对角线的交点. 解: MA=-(1/2)AC=-(a+b)/2; MC=-MA=(a+b)/2; MB=(1/2)DB=(a-b)/2; MD=-MB=(b-a)/2 作业：高等数学练习册C习题三十六第4题 教学后记： 教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编 《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编 《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习思考题： 用向量的方法证明：梯形两腰中点的连线平行底边且等于两底边和的一半. 讲授内容：§7-2 点的坐标与向量的坐标 教学目的与要求： 1．理解空间直角坐标系的概念. 2．掌握用坐标进行线性运算的方法，会求向量的模以及两点间的距离. 3．掌握定比分点的坐标公式. 教学重难点：重点――用坐标进行线性运算. 难点――理解空间直角坐标系的概念. 教学方法：讲授法 教学建议：在解题过程中要掌握数形结合的方法，充分采用向量形式，最后用代数方法解之. 学时： 2学时 教学过程： 空间直角坐标系 坐标轴: x轴(横轴),y轴(纵轴), z轴(竖轴) 以O为原点,两两垂直.三轴的单位向量依次为 i, j, k. 构成空间直角坐标系Oxyz或[O,i,j,k],正向符合右手规则. 坐标面: 任意