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第六章 点估计 一、?????? 教学目的与要求 1、???????????? 掌握对母体未知参数的矩估计法与极大似然估计法； 2、???????????? 掌握估计量的优良标准：一致性，无偏性； 3、???????????? 了解罗—克拉美不等式及其意义，知道最小方差无???? 偏估计的概念。 ? 二、?????? 教学重点与难点 重点：本章教学重点是矩估计和极大似然估计； 难点：难点是利用极大似然估计的定义来判定极大似然估计量及估计量优良性的评判。 第六章? 点估计 在上一章中我们已经指出，数理统计的基本问题是根据子样所提出的信息，对母体的分布以及分布的数字特征等作出统计推断的问题，这个问题中的一类是母体分布的类型为已知，而它的某些参数却为未知，下面我们将研究这类问题。例如，已知母体服从正态分布，为未知，只要对作出了推断，也就对整个母体分布作出了推断，这类问题称为参数估计问题。 点估计的概念 设母体的概率函数的类型为已知的，参数除了只知道它的可能取值范围其它一无所知，今后我们称为参数空间，这样有一族概率函数例如是取实数值的一族正态分布，现在的任务是：如何根据子样提供的信息，在分布族中选定一个分布作为母体的分布，用统计语言就是根据信息估计出未知参数的值，这样就能使母体的分布从不明确变成明确的了。 设，是取自这一母体的一个子样，我们看成一个统计量为参数的估计，称这个估计量为参数的一个估计量，若是子样的一组观测值，则称就是的一个点估计值或简称估计值。如果分布族中含有k个未知参数即 ， 则需要构造k个统计量分别作为的估计量，这种问题称为参数的点估计问题。 ? ? ? §6.1? 矩法估计 一、?????? 矩法估计 由辛钦大数定律知，若母体存在，因为子样独立同分布，必有。即子样的k阶原点矩稳定于母体k阶原点矩，甚至还有更强的结果 。所以当未知时，自然会想到用子样k阶原点矩来作为它的估计量，即 称为替换原则，至于其它的未知参数，只需将它表示成矩的函数，然后用子样的相应矩来代替，如此求出的估计量统称为矩估计量。 例1、??? 由替换原则，母体具有均值和方差 ??? 由此说明不论什么母体，都有母体均值与方差的矩估计量分别为子样均值与子样方差。因此如果未知参数不能用期望、方差来表示的话，可分别用及来代替期望、方差，即可立即求出未知参数的矩估计量。 例2、??? 设母体服从参数为p的两点分布，p未知，求p的矩估计量。 解：因,又因， 所以表示事件A出现的频率， 可见p的矩估计量就是该事件出现的频率。 ? 例3、??????? 设母体求的矩估计量 解： 例4、??? 设母体，为取自母体的一组子样，求的矩估计量 解： 那么用矩估计得到的估计量是否好呢？下面讨论评判估计好坏的若干个 主要的标准。 二、?????? 估计的优良性 1、一致性 用矩估计得到的参数估计有时具有一些优良性，由辛钦大数定律知：对任何并且对任何j只要存在，同时有。由此可知，用矩法估计所得母体的均值和各阶原点矩的估计量和，当n很大时，估计量与真值很接近的可能性非常大，当时该估计量将稳定于真值，由于对同一个 待估参数可以构造许多估计量，但又不是每一个估计量都具有这种性质，显然可以作为这个估计量的好坏的标准。 定义1、设母体为未知参数，的一个估计量，n为子样容量，若，有，则称为参数的一致估计。 经过上面的讨论可知，的一个一致估计，为的一致估计，可以证明为母体的方差的一致估计。 2、无偏性 估计的一致性是大子样所呈现的性质，当子样容量不大时，估计的这种性质就不存在，这里我们给出另一种对任何子样容量都适用的评价估计量好坏的标准。 定义2、设母体为未知参数，为的一个估计值，若对一切，关系式成立，则称为的无偏估计，否则称为有偏的。 无偏性表明估计量的摆动中心为未知参数，若用作为的估计的话，该估计量没有系统的偏差。 由于现的无偏估计，子样原点矩是母体原点矩的无偏估计，而可见的无偏估计量，而才是的无偏估计量。 一般说来，如果的有偏估计量，且这里a,b是常数，于是我们能构造一个无偏估计量若一个估计不一定无偏的 ，但当则称的渐进无偏估计。 显然的渐进无偏估计。 例4、设母体，为未知 参数，称的矩估计量，并判断是否为的无偏估计 解： 所以的无偏估计。 例5、设母体，为子样的次序统计量，证明均称为无偏估计 证：令，那么服从U[0，1] 事实上，令那么的分布密度 由此可知均匀分布的子样所对应的次序统计量，于是的无偏估计。 由上例可见，一般地未知参数的无偏估计量不是唯一，自然希望从的无偏估计中挑选一个方差尽可能小的无偏估计，这就是估计量的有效性标准。 3、有效性 定义3、若参数的两个无偏估计它们的方差对一切，有，则称估计比估计有效。 在例5中，均为的无偏估计，哪这n个无偏估计中哪个更有效