§常数顶数的概念和性质.docVIP

§11.1 常数顶级数的概念和性质 一、级数的定义 若给定一个数列 ，由它构成的表达式 (1) 称之为常数项无穷级数，简称级数，记作。 亦即 其中第项叫做级数的一般项。 上述级数定义仅仅只是一个形式化的定义，它未明确无限多个数量相加的意义。无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来，因为，这一累加过程是无法完成的。 为给出级数中无限多个数量相加的数学定义，我们引入部分和概念。 作级数(1)的前项之和 (2) 称为级数(1)的部分和。当依次取时，它们构成一个新数列 称此数列为级数(1)的部分和数列。 根据部分和数列(2)是否有极限，我们给出级数(1)收敛与发散的概念。 【定义】当无限增大时，如果级数(1)的部分和数列(2)有极限，即 则称级数(1)收敛，这时极限叫做级数(1)的和，并记作 ； 如果部分和数列(2)无极限，则称级数(1)发散。 当级数(1)收敛时，其部分和是级数和的近似值，它们之间的差值 叫做级数的余项。 【注明】由级数定义发现，它对加法的规定是：依数列的序号大小次序进行逐项累加，因此，级数的敛散性与这种加法规定的方式有关。 【著名反例】 (1)、若逐项相加，部分和为 , 无极限，故级数发散。 (2)、若每两项相加之后再各项相加，有 【例1】讨论等比级数 的敛散性。 解：若，则部分和为 (1)、当时，，故， 等比级数收敛，且和为； (2)、当时，，从而， 等比级数发散； (3)、当时， 若，则 若， 则 不存在。 即当时，等比级数发散。 综合有 【例2】研究下列伸缩型级数的敛散性 1、 2、 解1、 从而 因此，级数1是发散的。 解2、 从而 因此，级数2收敛于。 二、级数的基本性质 【性质一】如果级数 收敛于和，则它的各项同乘以一个常数所得的级数 也收敛，且和为。 【证明】设与的部分和分别为、，则 于是， 故级数收敛且和为。 由关系式 ，有 如果没有极限，且，那未也没有极限。 因此，我们得到如下重要结论 级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的敛散性不变。 【性质二】设有级数 分别收敛于与， 则级数 也收敛，且和为。 【证明】设级数、的部分和分别为、， 则部分和 故 这表明级数收敛且其和为。 据性质二，我们可得到几个有用的结论 1、若与收敛，则 (分配律) (一种结合律) 2、若收敛，而发散，则必发散。 反证：假设收敛，则亦收敛， 即收敛，这与条件相矛盾。 3、若、均发散，那么可能收敛，也可有发散。 如 ， 发散 又如 ， 收敛 【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性，不过在收敛时，一般来说级数的和是要改变的。 【证明】将级数 的前项去掉，得到新级数 新级数的部分和为 其中是原级数前项的部分和，而是原级数前项之和(它是一个常数)。故当时，与具有相同的敛散性。在收敛时，其收敛的和有关系式 其中 ，， 类似地，可以证明在级数的前面增加有限项，不会影响级数的敛散性。 【性质四】将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和。 【证明】设有收敛级数 它按照某一规律加括号后所成的级数为 用表示这一新级数的前项之和，它是由原级数中前项之和所构成的()，即有 显然，当时，有，因此 级数加括号与去括号之后所得新级数的敛散性较复杂，下列事实在解题中会常用到。 1、如果级数加括号之后所形成的级数发散，则级数本身也一定发散。 显然，这是性质四的逆否命题。 2、收敛的级数去括号之后所成级数不一定收敛。 例如，级数收敛于零，但去括号之后所得级数 却是发散的。 这一事实也可以反过来陈述： 即使级数加括号之后收敛，它也不一定就收敛。 三、级数收敛的必要条件 对于级数 它的一般项与部分和有关系式 假设该级数收敛于和，则 于是，我们有如下级数收敛的必要条件。 【定理】级数收敛的必要条件是。 必须指出，级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件。 【著名反例】讨论调和级数 的敛散性。 这里，，即调和级数的一般项趋近于零。 考虑由，，，轴所围成的曲边梯形的面积与这个阶梯形面积的关系。 当时，，从而， 因此，调和级数发散到。 作业：P192 习题11—1 1(2)(4)、2(3)、3(2)、4(2)(5)、5(2).