§微分方程应用举例.docVIP

§8-5 微分方程应用举例 在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用． 应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行： (1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件； (2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解； (3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势． 例1 有一个30(30(12(m3)的车间，空气中CO2的容积浓度为0.12%．为降低CO2的含量，用一台风量为1500(m3/min)的进风鼓风机通入CO2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m3/min)的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min后，车间中CO2的容积浓度为多少？ 解 车间体积为10800m3．设鼓风机开动t （min）后，车间空气中CO2的含量为x=x(t)，那么容积浓度为． 记在t到t+dt这段时间内，车间CO2含量的改变量为dx，则 dx=该时间段内CO2通入量-该时间段内CO2排出量 =单位时间进风量(进风CO2的浓度(时间-单位时间排风量(排风CO2浓度(时间 =1500(0.04%(dt -1500((dt， 于是有 =1500(0.04% -1500( 即 =(4.32-x) 初始条件x(0)=10800(0.12%=12.96． 方程为可分离变量的方程，其通解为 x(t)=4.32+C． 将初始条件代入上式，得C=8.64．于是在t时刻车间内空气中CO2的含量为 x(t)=4.32(1+2)． 所以鼓风机打开10min后，车间中CO2浓度为=0.06%． 例2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知t=t0时人口总数为x0，试根据马尔萨斯模型，确定时间t与人口总数x(t)之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰，假定年增长率一直保持不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数． 解 记t时的人口总数为x=x(t)，则人口的增长率为，据人口指数增长模型为=rx(t),(r为比例系数，即马尔萨斯增长指数) (1) 并附初始条件：x(t0)=x． 方程是可分离变量方程，易得它的通解为x=Cert．将初始条件x(t0)=代入，得C=x0．于是时间t与人口总数x(t)之间的函数关系为x(t)=x0． 将t=2005, t0= 1990, x0=11.6, r=0.0148代入，可预测出2005年我国的人口总数为 x|t=2005=11.6e 0.0148((2005-1990) (14.5(亿)． 例3 有一由电阻、电感串接而成的电路,如图8-6所示，其中电源电动势E=E0sin(t,(E0,(为常量），电阻R和电感L为常量，在t=0时合上开关S，其时电流为零，求此电路中电流i与时间t的函数关系． 解 由电学知识，电感L上的感应电动势为L，根据回路电压定律，有 E=Ri+L， 即 sin(t， (1) 初始条件为i(0)=0． 方程是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为 i(t)=C+ (Rsin(t-(Lcos(t)． 将初始条件i(0)=0代入上式，得C=．于是所求电流为 i(t)= ((L+ Rsin(t-(Lcos(t), (t(0)． 例4 轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜．设油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为V0，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆柱体，初始t=0时圆柱高度为h0，求油膜半径与时间t的关系． 解 设圆柱体油料半径r=r(t)，厚度h=h(t)，则在任何时刻t有 (r2(t)(h(t)=V0． (1) 两边对t求导，得 2(r(t)h(t)+(r2(t)=0， 据油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比,,得 2kh2(t)+=0，即 =-2k(t)． 分离