矩阵理论义ppt内积空间.PPTVIP

设T 是复内积空间V 的线性变换，若?a?V 有 则称T 为V 的酉变换。 定理: 设T 是复内积空间V 的线性变换，a, b ?V ， 则下列命题等价， 4.6 正规矩阵 例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。 定义2：设 A, B是复方阵，若存在酉矩阵U，使 则称A与B酉相似。 定理1：任意复方阵必与上三角阵酉相似。 对复方阵的阶数用归纳法。 引理1：正规的三角阵必是对角阵。 定理2：复方阵A与对角阵酉相似的充分必要条件是 A是正规阵。 推论：实对称阵必与对角阵相似的。 * 设A为 n 阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程， * * 例: 求矩阵A的QR分解， 4.3 正交子空间 定义: 设W, U是实内积空间V 的子空间， (1) a ?V , 若?b ?W, 都有(a, b ) = 0, 则称a 与W 正交，记作a ?W ; (2) 若?a ?W, b ?U, 都有(a, b ) = 0, 则称W 与U 正交，记作W ?U ; (3) 若W ?U，并且W + U = V, 则称U 为W 的正交补。 注意：若W ?U，则 W与U 的和必是直和。 正交补的存在唯一性 定理: 设W 是实内积空间V 的子空间，则W 的正交补 存在且唯一，记该正交补为 ，并且 向量的正投影 定义: 设W 是实内积空间V 的子空间， 则称向量b 为向量a 在W上的正投影， 称向量长度||g ||为向量a 到W 的距离。 W d b O a g 垂线最短定理 定理: 设W 是实内积空间V 的子空间，a?V , b 为a 在W 上的正投影，则 ?d?W, 有 并且等号成立当且仅当 b = d。 W d b a 最小二乘法 问题提出: 实系数线性方程组 （1） 即任意 都可能使 （2） 不等于零． 可能无解， 设法找实数组 使（2）最小, 这样的 为方程组（1）的最小二乘解， 此问题叫最小二乘法问题. 最小二乘法的表示: 设 （3） 用距离的概念，（2）就是 由（3）, 设 　　　　　　　　　则 要找 使（2）最小，等价于找子空间 中向量 使 到它的距离 比到 中其它向量的距离都短. 设 这等价于 （4） 即 这样（4）等价于 （5） 为此必 或 这就是最小二乘解所满足的代数方程. 　　 已知某种材料在生产过程中的废品率 与某种 化学成份 有关．下列表中记载了某工厂生产 中 与相应的 的几次数值： 找出 对 的一个近似公式. 例题 把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势 近于一条直线． 因此我们决定选取 的一次式 来表达．当然最好能选到适当的 使得下面的等式 解： 都成立. 实际上是不可能的．任何 代入上面各式都发生 些误差. 于是想找到 使得上面各式的误差的平方 和最小， 即找 使 最小. 易知 最小二乘解 所满足的方程就是 解得 （取三位有效数字）. 即为 4.4 正交变换 定义: 设T 是实内积空间V 的线性变换，若?a?V 有 则称T 为V 的正交变换。 正交变换的特征刻画 定理: 设T 是实内积空间V 的线性变换，a, b ?V ， 则下列命题等价， * 推论：(1) 两个正交变换的积仍是正交变换； (2) 正交变换的逆变换仍是正交变换。 Householder 变换 构造 的正交变换 讨论正交变换H 的几何意义。 故H(a)是a关于子空间的反射， d a g b w O -g 矩阵H 称为Householder矩阵， 变换H 称为Householder变换， 变换H 也称初等反射变换。 * 求一个初等反射变换H，使H(a)=b。 只需求一个w 使得b 是a 关于子空间 的反射， 于是w 与a - b 平行，故可取 4.5 复内积空间 定义.设V 是一个复线性空间，C 为复数域， * 若?a, b ?V, 存在唯一的 c?C与之对应， 记作(a, b ) = c, 并且满足 (2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ) (3) (ka, b ) = k(a, b ) (4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0 ? a = 0 则称 (a