第2章b随机变量的函数的分布-3讲述.pptx

2.8 随机变量的函数的分布（续） 2 2.8.5 一维随机变量的函数分布 问题：已知随机变量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。 例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的 测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？ 例： 已知X具有概率分布（如表），且设Y=X2，求Y的概率分布。 解：Y的所有可能取值为0,1 即找出(Y=0)的等价事件(X=0)； (Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1) 3 例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。 Y在区间(0,16)上均匀分布。 4 一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为： 关键是找出等价事件。 5 例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。 解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1 (Y=-2)的等价事件为(X=-1)… (Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1) 故得： 6 例： 7 8 9 例： 解： 例： 解： 10 11 2.8.6 两个随机变量的函数的分布 12 例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 解：由卷积公式： 一般：设X,Y相互独立， 13 例2：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求 的概率密度。 解：根据卷积公式： 易知仅当 参考图得： 14 例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为： 求 的概率密度。 解：根据卷积公式： 15 一般的，可以证明： 若X,Y相互独立，且分别服从参数为 X,Y的概率密度分别为 证明：这是例3的推广，由卷积公式 16 17 推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则： 18 19 例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联 结的方式分别为：(1)串联；(2)并联； (3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。 如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率 密度分别为： 试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。 20 串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函数分别为： 故Z的分布函数为： 于是Z的概率密度为： 即Z仍服从指数分布 21 并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为： 于是Z的概率密度为： 22 备用的情况 由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y； 因此： 23 复习思考题 1.设(X,Y)为二维向量， 则P{x1X≤x2,y1Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x1, y1),对吗？ 2.设(X,Y)为二维连续量，则P{X+Y =1}=0,对吗？ 3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度， fX(x)和fY(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)使 f(x0,y0)≠ fX(x0)·fY(y0)则X和Y不独立，对吗？