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RS编码?RS(255,249)?码的生成多项式为G（x）=?，其中a为本原元，是本原多项式p（x）=?的根。RS系统编码器可看作是一个多项式除法器，首先用?乘以消息多项式m（x），即在信息码后附加（n-k）个“0”，将得到的结果?m（x）除以g（x），得到余式，b（x）=??为所求的校验位，从而，可将码字多项式表示为c（x）=?m（x）+b（x）。RS译码 由于RS?码是一种循环码，令码字多项式为c（x），错误多项式为e（x），则接收多项式可表示为r（x）=?c（x）+?e（x）。存在校验矩阵H，使c*?=0，!，定义接收矢量的伴随式S=?r*?=（）。可得伴随式：j=1,2,3,…n可知伴随式完全由噪声E决定，充分反映了信道干扰的情况。循环码编码 循环码通常采用码多项式描述,?假设(7, 4)循环码的码字为(1001000),?就可用T(x)=1+x3?表示。特别是用g(x)表示前k- 1?位皆为0?的码组,?称为生成多项式。由循环码的性质可知,?循环码对生成矩阵可由码对生成多项式g( x)?及其循环移位构成, (7, 4)循环码生成多项式g(x)=1+x+x3(1011)或g(x)=1+x2+x3(1101),?以选1011?为(7, 4)CRC?码的生成多项式,?用矩阵表示如下式2- 1。根据生成矩阵,?就可利用上面介绍的方法设计编码器了。还可以利用循环码自身的循环性,更方便地实现编码器。(7, 4)循环码为例,?若输入信息码元为u(x)=1+x3,?则:?u（x）=?=x+?因此,?码多项式为:o（x）=r（x）+?u（x）=x+?其中r(x)=x+x2?为信息码元置为高位后整除生成多项式的余式,?它正好对应于校验序列。因此对应的输出码字为: c=(0111001),?其中最右边的4?位是信息元。循环码编码器的结构可用图1?所示的框图表示。汉明码编码最简单的校验码是奇偶校验码，其基本思想是无论信息位有多少位，校验位只有一位。以偶校验为例，在分组数据后面附加一位校验位，使得信息位连同校验位在内的码组中的“l”的个数为偶数个，在接收端按同样的规律检查，如果不符说明出现了差错。奇偶校验码的最小码距d血=2，可以检测奇数(2H1)个错误。汉明码的基本思想是在k个信息位后增加r个监督位，总码长n=k4-r位，希望能用r个监督位构造出的r个监督关系式来指示rt位码中一位错码的可能位置，r个监督位有27种可能，其中1种表示无错，剩下2’一1种表示一位错码的扎种可能位置，因此要求27—1≥n或27≥后+r+1上式当等于号成立时即为汉明码，一般常见的有(7，4)、(15，11)汉明码等。以(7，4)汉明码为例，监督码位r=n—k=3，用a6，a5，…，ao表示这7个码元，用S1S2S3表示3个监督关系式中的校正子，按照S1S2S3=000时表示无错，S1S2S3为其他值时表示7个可能的错码位置。根据汉明码编译码的基本原理，在FPGA中实现的汉明码编译码系统如图l所示。系统用Verilog语言进行设计，由3个模块组成，编码模块：hamming_coder．v，噪声模拟模块：add—noise．v，译码模块：hamming_decoder．v。三个模块再通过一个顶层综合模块hamming_top综合在一起，其中，data_in为输入数据，reset为复位端，noise为模拟加入的噪声，data_out为译码后输出的数据，err为译码输出错误指示BCH(23，1 2)的编码BCH (23，12)码就是纠正3位错误的二元BCH?码， 由本原多项式以及生成多项式计算式g（x）= LCM{?，得到码的生成多项式g利用多项式的除法电路很容易得到BCH (23，12)码的编码．其编码电路图如图l所示．?图1 BCH (28．12)的编码电路图BCH(23．1 2)的译码BCH码译码的一般步骤分4步：(1)根据接收多项式矢量R(x)计算伴随式 ，( =l，2…，2f)；(2)用伯利坎普迭代算法，从sj求出差错定位多项式o(x)：(3)用钱~(Chien)有哪些信誉好的足球投注网站法(试探法)，求?( )的根，其倒数为差错位置数；(4)接收多项式减差错多项式，完成纠错．多项式口()的迭代算法实现起来很麻烦，直接以伴随式S】，S3为出发点，来寻找错误位置，并予以纠正来完成译码．由于该码的本原域次数很高，采用以上的译码方法比较复杂．相对来说，采用修正捕错译码比较简单，译码电路图如图2所示：?