Lecture2_代数方程的解法.docVIP

二、解非线性方程（组） （一）直接法 １、二分法： 　　设方程在区间上有唯一解，并且，如方程 　　　　　　　 （2） 首先要确定适当的包含根的区间，这可以依据闭区间上连续函数的介值定理来确定，例如，，，所以方程 （２）至少有一个实根属于区间，图1表明区间中只含有一个根，显然方程 （２）的根不易直接求得。在区间[-1，0]、[0，1]和[1，2]的情形，如下图１所示 例　plotNL_fun01.m 程序实现：Find_Interval_of_Including_Root_01.m 二分法的求根过程：用表示方程在区间上近似解，对于给定的精度要求，取区间的中点，并按下式进行判断： 　　　　　　　（２） 以为例，如果，那么区间内的任何一点都可以作为方程的近根。二分法适用于一个方程的场合，收敛速度是线性的，迭代次数的估计： 　　　　　　（３） 程序实现：Bisection_method_01.m ２.黄金分割法： 在区间内取对称的两点： 　　　　　　　　　（４） 使得 求根（方法）程序如下： 　　（５） 按这种方法选取点和，每次去掉的区间长度至少是原区间长度的0.618倍， 上述适用于一个方程的场合，收敛速度是线性的，迭代次数的估计： 　　　　　（６） 程序实现：Golden_Rate_method_01.m （二）迭代法 首先将方程（组）写成等价的迭代形式： 　　　　　　　（７） 由此确定了相应的迭代法: （８） 　　 对于非线性方程（组）的迭代法来说，同样面临收敛性问题，为说明收敛性条件，先看下面的例子： Example：EquitIteration.m 　　让我们来求如下方程的根 下面，我们采用迭代法求方程 （１）位于区间中的根，为此构造迭代算法如下： 　　， 　　 （９） 　　， 　　 （１０） 在区间中任取一个迭代初值，如取初值。执行下面的程序： EqutIteration.m: %EqutIteration.m: Finding The Zeros of f(x)=x^3-2.3x^2+x*sin(x)+0.3 clear;clf x=[]; x(1)=-0.8; n=100; TX=1e-10; i=1; while in x(i+1)=(0.3+x(i)*sin(x(i)))/(x(i)*(2.3-x(i))); if abs(x(i+1)-x(i))TX break else i=i+1; N=i; end end N=N x=x plot([1:length(x)],x,r*) title(ITERATION EXAMPLE FOR SOLVING EQUATION) xlabel(\fontsize {12} \fontname {??ì?}??í?￡±) EqutIteration N = 29 Ex_IteraConv01 N = 29 x = Columns 1 through 7 -0.8000 -0.3524 -0.4511 -0.4002 -0.4219 -0.4117 -0.4163 Columns 8 through 14 -0.4142 -0.4151 -0.4147 -0.4149 -0.4148 -0.4149 -0.4148 Columns 15 through 21 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 Columns 22 through 28 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 Columns 29 through 30 -0.4148 -0.4148 下面欲求１．５附近的根，为此分别取初值，，迭代的结果如下： Ex_IteraConv01 N = 32 x = Columns 1 through 7 1.4000 1.3330 1.2378 1.1179 0.9877 0.8676 0.7739 Columns 8 through 14 0.7120 0.6768 0.6589 0.6505 0.6467 0.6451 0.6