2014高考数学分项练习大集结算数平均数与几何平均数.docVIP

2014高考数学分项练习大集结：算数平均数与几何平均数 【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分） 1.logab+logba≥2成立的必要条件是（） A.a＞1,b＞1B.0＜a,b＜1 C.(a-1)(b-1)＞0D.以上全不对 答案：C 解析：logab+logba≥2成立的充要条件是logab＞0，故A、B是充分条件，C是必要条件. 2.下列各等式中正确的个数是（） ①a2+1＞2a;②|x+|≥2;③≤2;④x2+≥1. A.0B.1C.2D.3 答案：C 解析：②④正确. 3.(2010广东中山一模，9)设a、b∈R+,且a+b=4,则有（） A.≥B.≥1 C.≥2D.≥ 答案：B 解析：由a,b∈R+,a+b=4,知ab≤()2=4,故=≥1. 4.(2010浙江高三联考，2)已知xy＜0,则代数式（） A.有最小值2B.有最大值-2 C.有最小值-2D.不存在最值 答案：B 解析：因x2+y2≥2|xy|=-2xy，又xy＜0,故≤-2. 5.(2010重庆万州区一模，5)若实数x、y满足x2+y2=1,则（1-xy）(1+xy)的最小值为() A.1B.C.D. 答案：C 解析：∵2|xy|≤x2+y2=1,∴|xy|≤.(1-xy)(1+xy)=1-x2y2≥1-()2=. 6.当点（x,y）在直线x+3y-2=0上移动时，表达式3x+27y+1的最小值是() A.3B.1+2C.6D.7 答案：D 解析：3x+27y+1=3x+33y+1≥2+1=2+1=7. 7.甲、乙两个同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则() A.甲先到教室B.乙先到教室 C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定 答案：B 解析：设甲用时T，乙用时2t，步速为a，跑步速度为b，距离S.则T=, ta+tb=s2t=,∴T-2t=-=s×＞0， 故T＞2t. 二、填空题（每小题5分，共15分） 8.已知a、b∈R+,且a+b=1,则≥m,恒成立的实数m的最大值是________________. 答案：4 解析：=()(a+b)=2+≥4. 所以的最小值为4，m≤恒成立，m的最大值是4. 9.在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，并且使两个自然数的和最小.1=. 答案：412 解析：设所求数为m,n故求μ=m+n的最小值，且=1.又μ=(m+n)·1=(m+n)·() =10+≥16,此时m=4,n=12. 10.已知双曲线（x-h）(y-k)=a(a≠0)的水平渐近线为y=k,垂直渐近线为x=h，双曲线中心为（h,k），若双曲线y=上的点到它的水平渐近线、垂直渐近线、中心的距离分别为d1,d2,d3，则d1+d2+d3的最小值为___________________. 答案：2+ 解析：设点P为（x0,y0），易知水平渐近线为x=1时，垂直渐近线为y=1，中心为（1，1）， 故d1=|y0-1|,d2=|x0-1|,d3=, ∴d1+d2+d3=||+|x0-1|+≥2+.等号当且仅当||=|x0-1|即x0=0或x0=2时成立. 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.（1）求函数y=x+(x＜0)的最大值； （2）求函数y=+x(x＞3)的最小值. 解析：（1）x＜0, ∴y=x+=-［(-x)+］≤-2=-. 当且仅当x=-时，取等号.∴ymax=-. (2)∵x＞3, ∴y=+x=+(x-3)+3≥5. 当且仅当x-3=,即x=4时，取等号. ∴ymin=5. 12.设a、b、c∈R+,求证：++≥(a+b+c). 证明：∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2① 于是≥|a+b|=(a+b).② 同理：≥(b+c),≥(c+a).③ ①+②+③式相加得：++≥(a+b+c). 13.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算： （1）仓库面积S的最大允许值是多少？ （2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解析：（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则S=xy，由题意得40x+2×45y＋20xy=3200,应用二元均值不等式，得3200≥2+20xy,即S+6≤160,而（+16）（-10）≤0. ∴≤10S≤100. 因此S的最大允许值是100米2. （2）当 即x=15米，即铁栅的长为15米. 14.是否存在常数c，使得不等式≤c≤对任意正实数x,y恒成立？证明你的结论. 解析：存