[中学联盟]专题二第3讲.docVIP

第3讲　平面向量 【高考考情解读】　从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点： 1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题常以填空题形式出现，难度中等偏下. 2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等． 1． 平面向量中的五个基本概念 (1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为eq \f(a,|a|). (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2． 平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底． 3． 平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 4． 平面向量的三个性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x2＋y2). (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2). (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))). 考点一　平面向量的概念及线性运算 例1　(1)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq \o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． (2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))＝0且|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))|，则向量eq \o(CA,\s\up6(→))在eq \o(CB,\s\up6(→))上的投影为________． (1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单． (2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合． (1)已知△ABC和点M满足eq \o(MA,\s\up6(→))＋eq \o(MB,\s\up6(→))＋eq \o(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m使得eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))＝meq \o(AM,\s\up6(→))成立，则m的值为________． (2)如图，平面内有三个向量eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))，其中eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \o(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，若eq \o(OC,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 考点二　平面向量的数量积 例2　(1)(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \r(2)，则e