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计算方法演示课件第6章节常微分方程初值问题的数值解法
* 第六章 常微分方程初值问题的数值解法 6.1 欧拉方法 6.2 计算公式的误差分析 6.3 龙格－库塔方法 6.4 向一阶方程组与高阶方程的推广 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、欧拉法： 只要f(x,y)满足一定条件，则此问题的解是存在的，且是唯一的。 在求解的过程中，我们已掌握了一些典型方程的解法。但是仍有不少方程是无法求出其解析解的，因此我们要讨论其数值解。即在微分方程解存在的前提下，构造一种算法，计算出微分方程的解y(x)在存在 区间上点 上的值的近似值，即不求其准确解y=y(x)的解析表达式，而求出一个函数表格 1.问题的提出： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.数值求解方法： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 6.1 欧拉方法 6.1.1 欧拉公式与改进欧拉公式 1)算法： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 这称为欧拉公式 例6.1 以 h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。 这称为后退欧拉公式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 6.1.2 梯形公式与改进欧拉公式 欧拉公式与后退欧拉公式也可采用积分近似的方法推出 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 梯形公式也是隐式单步法公式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭代计算，即采用下式 这称为改进欧拉公式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例6.2 仍取步长h = 0.1，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的 常微分方程初值问题。 这时改进欧拉公式为 计算结果见表6-2（书125页） 解 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 6.2 计算公式的误差分析 定义6.1 若 yi+1 是 yi=y(xi) 从计算得到的近似解，则称 y(xi+1) － yi+1为所用公式的局部截断误差，
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