7-3线性变换与矩阵ppt.pptVIP

* * 7.3.1 线性变换的矩阵 设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一个线性变换，取定V的一个基 令 ……………………………………… 7.3 线性变换和矩阵 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 设 n阶矩阵A 叫做线性变换σ关于基 的矩阵. 简称σ的矩阵. (1) 上面的表达式常常写出更方便的形式: 例题 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 7.3.2 坐标变换 设V是数域F上一个n 维向量空间, 是它的一个基, ξ关于这个基的坐标是 而σ(ξ)的坐标是 问: 和  之间有什么关系? 设 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 因为σ是线性变换，所以 （2） 将（1）代入（2）得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 最后，等式表明， 的坐标所组成的列是 综合上面所述, 我们得到坐标变换公式： 定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是V的一个线性变换，而σ关于V的一个基  的矩阵是 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 ，而σ(ξ)的坐标是 ， 那么 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1 在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基.令σ是将 的每一向量旋转角θ的一个旋转. σ是 的一个线性变换.我们有 所以σ关于基 的矩阵是 设 ，它关于基 的坐标是 ,而 的坐标是 .那么 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 引理7.3.1 设V是数域F上一个n 维向量空间， 是V的一个基，那么对于V 中任意n个向量 ，恰有 V 的一个线性变换σ，使得: 证 设 是V中任意向量.我们如下地定义V到自身的一个映射σ： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 我们证明，σ是V的一个线性变换. 设 那么 于是 设