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作 业 P172. 2 3 * §2 闭区间上连续函数性质的证明 有界性定理 若f在闭区间[a,b]上连续,则f 一定在[a, b]上有界. 证 （应用致密性定理） 若f在[a,b]上无上界， 依次取n=1，2，…，则得到数列 由致密性定理，它含有收敛子列 利用f 的连续 性，有 另一方面， 矛盾！ 所以f在[a,b]上有上界。 类似地可证f在[a,b]上有下界， 从而 f 在[a,b] 上有界。 最大值和最小值定理 f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]一定有最大值和最小值. 证 应用确界原理 由于f在[a, b]上连续，所以f在[a, b]有界. 由确界原理，f 的值域S= f([a, b]) 有上、下确界， 反证法 则g(x)在[a,b]连续， 从而g(x)在[a,b]有界， 设G是g(x)在[a,b]的一个上界， 即M不是f(x)的最小上界， 矛盾！ M显然是f(x)的最大值。 同理可证下确界可达到，即最小值可达到。 介值性定理 设函数?在闭区间[a,b]上连续，且?(a)≠?(b)。若c为介于?(a)与?(b)之间的任何实数（?(a)c?(b)或?(a)c?(b)），则至少存在一点x0∈(a,b)，使得?(x0)=c. 证 应用确界原理 即E是非空有界数集。 由确界原理，E有确界。 证毕！ 定理（Contor定理，一致连续性定理） 若f在[a,b]连续，则f在[a,b]一致连续。 证 用有限覆盖定理 由于f在[a,b]上连续， 考虑开区间集合： 显然H是[a,b]的一个开覆盖， 由有限覆盖定理， 存在H的一个有限子集： 覆盖了[a，b] 。 此时有 所以f在[a，b]上一致连续。 证毕。 补充定理：P172.5 在（a，b）上的连续函数 f 为一致连续的充要条件是 f（a+0）与f（b-0）都存在。 证明： 证毕。 注意： 此定理不适合无限开区间的情况。 定理： 若f(x)在有限区间I上一致连续，则f(x)在I上必有界。 §3 上极限和下极限 定义1 若在数a的任一邻域内含有数列{xn}的无限多个项,则称a为数列{xn}的一个聚点. 注1： 数列的聚点和数集的聚点不同。 数列以项为单位，相同数值的项看作不同的项，但作为点集却是同一个点。 作为点集来看待时,它仅含有五个点,即 这个有限集没有聚点 。 作为数列，{xn}有5个聚点： 点列的聚点实际上就是其收敛子列的极限. 注2 定理7.4 有界点列(数列){xn}至少有一个聚点,且存在最大聚点与最小聚点. , 定义2 有界数列(点列) {xn}的最大聚点 与最小聚点A分别称为{xn}的上极限与下极限,记作 例 定理7.5 对任何有界数列{xn}有: 定理7.6 定理7.9 设{xn}为有界数列. (1) 为{xn}上极限的充要条件是 (2) A为{xn}下极限的充要条件是 若定义1中的a可允许是非正常点+ 或- ,则定理7.4可相应地扩充为:任一点列{xn}至少有一个聚点,且存在最大聚点和最小聚点. 无上(下)界点列的最大(最小)聚点为+ 或- . *