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线性方程组 §2.1 向量的线性相关性 一、向量的定义及运算 定义 由n个数 构成的n元有序数组称为n元向量，记为（），其中称为该向量的第i个分量。 定义 设，。 若s=t且 (i=1, 2, …, s)，则称向量α与β相等，记为α=β。 注意：行向量：（） 列向量：，也可记为 。 定义 (1) 设，是两个n元向量，则称下列向量 为向量α与β的和，记为α + β； （2）设是n元向量，k是数，称下列向量 为数k与向量的数量乘积，记为。 例 设 是任一n元向量，则 0α =（0, 0, …, 0） 我们称分量全为零的向量（0, 0, …, 0）为零向量，记为θ；称向量为向量的负向量，记为–。 性质 设α、β、γ是任意三个n元向量，k、l是任意两个数，则有 α + β = β + α (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) α + θ = α（ θ是n元零向量） α + (–α) = θ 1α = α (kl)α = k(lα) (k + l)α = (kα + lα) k(α + β) = kα + lβ 另外，若，则或。 有惟一解：。 二、向量的线性相关性 三个基本概念 定义 设 是m个n元向量，k1, k2, …, km是任意m个数，称下列向量 是向量组 的一个线性组合。此时，也称向量β可由向量组 线性表出。 例 一个向量 的线性组合______。 例 向量组 能否线性表出？ 例 已知向量 ， 问：能否由 线性表出？ 解 设 则有 由此得 （存在 使成立 它 们使成立。即 可由 线性表出 线性方程组有解。） 经验证，有解，故 可由 线性表 出。 结论：① 线性表出 非齐次方程组有解 ② 表示法唯一 解唯一 定义 设 是m个元向量。若存在m个不全为零的数 ，使得 则称向量组 线性相关。不线性相关的 向量组称为线性无关。 例 设 与是两个2元实向量，则 ，线 性相关 与共线。 例 设 与是两个n元向量，则 ，线 性相关 与对应分量成比例。 例2.1.5 一个向量 线性相关 。 例2.1.6 证明向量组 线性相关。 证明 设 则有 （存在不全为零的 使成 立 它们也使成立，即 线性相关 齐次线性方程组有非零解。） 经验证，方程组有非零解，故线性 相关。 线性无关： 不存在不全为零的数 ，使得 对任意不全为零的数 ，均有 由 必可导出 结论： ①线性相关 齐次线性方程组有非零解； ②线性无关 齐次线性方程组无非零解。 例 指出向量组 的线性相关性。 解 令 ， 则有 因方程的个数 未知数的个数，故上述齐次线 性方程组有非零解。于是，, 线性相关。 例2.1.7 m个n元向量（m n）线性相关。 例 已知向量组线性无关。令 ， 问：是否线性相关？ 解 令 ， 则有 因 线性无关，故 又上述方程组只有零解： 。由此得 线性无关。 例2.1.4 在一个向量组中，如果有一个部分组（即由其中一部分向量构成的向量组）线性相关，则整个向量组也线性相关。 例 包含零向量的向量组线性相关。 例 已知 是三个4元向量， 令 证明：若 线性无关，则 也线性无关。 证明：令 ，则有 （1） （2） 由 式(1)得， （3） 已知 线性无关，故由 式(3)得 所以，线性无关。 问题： 由 线性相关是否可得出 也线性相关？ 由 的线性相关性能对 ,的 线性相关性做出那些判断？ (3)上述讨论是否可在向量个数、向量元数等方 面一般化？ 定理2.1.1 向量组 线性相关的充分必要条件是：至少存在一个 可由其余向量线性表出。 例2.1.9 设 是n个n元向量，称之为n元基本向量组，则 线性无关；对任一n元向量，均有 线性相关，且 可由 线性表出。 定理2.1.2 设向量组 线性无关，而向量组 ,线性相关，则 可由 线性表出且表示法唯一。 证明 ,线性相关 存在不全为零的数 ，使 若，则 且 不全为零。由此得 线性相