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课题 1-1函数极限 教学目的 1 理解数列的极限的定义以及会求数列的极限； 2 理解函数的极限的定义以及会求函数的极限； 3 理解函数极限存在的充要条件。 教学重点 求数列、函数的极限。 教学难点 求数列、函数的极限。 教学方法 讲授法 课 时 课 型 理论课 周 次 班级 星期 节次 地点 教学后记： 教学步骤及内容： 一、新课引入 在高中阶段，同学们接触了极限的一些概念与运算，极限概念是为求某些实际问题的精确解而产生的。例如，我国古代数学家刘微利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术就是极限思想在几何上的应用，同时，极限的概念是高等数学最基本的概念之一，如函数的连续性、导数、定积分等都是用极限概念来定义的。这节课将进一步学习极限的有关概念知识。 二 、新课讲解 （一）数列的极限： 引入新课（实例） 设某一生产设备的投资是1万元，如果规定每年提取的折旧费为该设备账面价格（即以前各年折旧费用提取后余下的价格）的，那么这项设备的账面价格（单位：万元）按照第一年、第二年……的顺序排成一个数列： ，…… 即 ，…… 其中是时序数，虽然经过很多年后，这项生产设备的账面价格将会逐渐接近于0，这是一个关于数列变化趋势的例子。 我们再来考察下列数列的变化趋势： （1） ：…… （2） ：…… （3） ： ，…… 上述数列都具有这样的特性：随着项数的无限增大，数列无限趋近于某个常数A。 1 定义：对于数列，如果当无限增大时，无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为数列的极限。 2 记作： 或者 由定义可知： 例1；考察下列数列，写出它们的极限 （1）3，，，……，…… （2）0，1，0，，0，，……，…… （3）-1，-1，-1，……-1，…… 解：（1） （2） （3） 3 一般地任何一个常数数列的极限都是这个常数本身，即（C是常数） 4 并不是所有的数列都有极限存在。 比如：，n无限增大时，数列的项始终在0与1之间 ，n 无限增大时，数列的项会无限增大，它们的极限均不存在。 课堂练习：P15 1 （二）函数的极限 前面讨论了数列的极限，数列是一个以正整数集为定义域的函数，即，对于函数f（x），随着自变量x的变化，其极限又如何？ 1．当时，函数f（x）的极限 考虑函数，当x趋于无穷时的变化趋势 首先看此函数的图形，当自变量， 函数，同样 当自变量x的绝对值无限增大（x远离原点向x轴的正负方向无限增大时） （即，） 于是我们有如下的定义： （1）定义：如果当自变量x取正值并无限增大时，函数f（x）无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）当时的极限。 记作： 或 （2） 或 （3） 或 例2：分别就自变量x趋向于+∞，-∞，和∞的情况，讨论下列函数的变化趋势： （1） （2） （3） 解：（1）如图（1） 当，的值越来越大，极限不存在图（1） 当， 即 当，的值不稳定，极限不存在 （2）当， 图2 即 当， 即 当，的值不稳定，极限不存在 （3）当，，即 图3 当，，即 当，，即 从上述的分析，我们可得到下面的定理： 定理1．1 2．当时，函数f（x）的极限 当自变量从点的左边（这时） 或者从的右边（这时） 无限趋近于时，函数y=x+1的值都都无限趋近于常数2 再来讨论当（但不等于1）时函数的变化趋势。 在x=1处无意义，但x可以从点的左右两边无限趋近于， 当时， ∴ 定义1．11：设函数y=f（x）在点的某领域内有定义（点可以除外）如果当自变量x无限趋近于（但）时，函数f（x）无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）当时的极限。 记作： 或 eg 例3、观察下列函数的变化，写出其极限 （1） （2） （3） 解：（1） 1 （2）-1 （3）4 （一般地任何一个常数函数的极限都是这个常数本身，即（C是常数）） 3．函数的左、右极限 对于极限表达式中的应理解为x可以从点的左侧或右侧无限趋近于，但有时往往只需要考虑自变量x从点的一侧无限趋近于时的函数f（x）的情况。 定义1．12：设函数y=f（x）在点左侧的某领域内有定义（可以除外）如果当x 从左侧无限趋近于时，函数y=f（x）无限趋近于一个确定的常数A