2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第45讲空间图形的位置关系答.doc

第5讲 空间图形的位置关系答案 情景再现 D B ②③ B 解：要使各点到该平面的距离相等，又这四点不共面，显然这四点不能在所求平面的同侧，因此只能有下面两种情况： （1）三个点在所求平面同一侧，第四个点在另一侧． 设A，B，C三点在一侧，D点在另一侧．作DP⊥平面ABC，P为垂足．再过DP中点作平面α∥平面ABC，则平面α即为所求平面之一．同理可知，这样的平面还有三个．故满足条件的平面有4个． （2）两点在所求平面的一侧，另两点在所求平面的另一侧． 设A，B在所求平面同一侧，C，D在另一侧．因为A，B，C，D不共面，故线段AB和CD是异面直线．过AB和CD公垂线段的中点作与公垂线段垂直的垂面β，则此平面为所求平面．同理可知，这样的平面还有两个，故满足条件的平面有3个． 综上所述，所求平面共有7个． 解：设三个平面分别为P，Q，R．先考虑P，Q的位置关系． 平面P与Q相交，此时P，Q将空间分成4部分．考虑R与P，Q的位置关系． 平面R与平面P和Q及P，Q交线都相交，此时R将P，Q所分四部分空间各分为两部分，因此P，Q，R将空间分为8部分； 当平面R与平面P，Q相交，且过平面P，Q的交线．则P，Q，R将空间分为6部分； 当平面R与平面P，Q相交，且与平面P，Q的交线平行．则P，Q，R将空间分为7部分． 当平面R与平面P，Q之一平行，则P，Q，R将空间分为6部分． 平面P与Q平行，此时P，Q将空间分为3部分． 平面R与平面P，Q都相交，此时P，Q，R将空间分为6部分； 平面R与平面P，Q都平行，此时P，Q，R将空间分为3部分． 证明：过A作AC⊥l于C，过B作BD⊥l于D． （1）若CD重合，则θ＋φ＝ eq \f(π,2)． （2）若C、D不重合，则sinθ＝sin∠BAD＝ eq \f(BD,AB)，sinφ＝sin∠ABC＝ eq \f(AC,AB)， sin∠ABD＝ eq \f(AD,AB)＞ eq \f(AC,AB)，故∠ABD＞φ． θ＋φ＜∠ABD＋∠BAD＝ eq \f(π,2) 证明：设三条直线为AB，CD和EF．根据题意，AB，CD在同一平面内，它们或相交或平行． 如果AB∥CD，则分别过AB，EF和CD，EF的两个平面的交线EF平行于AB和CD，即AB∥CD∥EF．如果AB∩CD＝O，则O在AB与EF确定的平面内，又在CD与 习题五 C 答案：C A 答案：AC⊥BD或任何能推导出这个条件的其他条件． D B D C B ①②④ 答案：D 分析一：利用线面距离转化为求Rt△B1BE斜边上的高． 解法一：过O作OE∥BC，连接B1E，B1O，则平面OB1E∥BC． 故BC上任意点到平面OB1E的距离等于异面直线OB1与BC的距离． 作BF⊥B1E于F． ∵平面OB1E⊥平面ABB1，∴BF就是B到平面OB1E的距离． BF＝ eq \f(BE·BB1,B1E)＝ eq \f(\r(5),5)．故异面直线OB1与BC的距离为 eq \f(\r(5),5)． 学科网 w。w-w*ks%5￥u 学科网 w。w-w*ks%5￥u