2.4函数的奇偶性与周期.doc

§2.4　函数的奇偶性与周期性 2014高考会这样考　1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用． 复习备考要这样做　1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题． 1． 奇、偶函数的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数． 如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． 2． 奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数． 3． 周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 4． 对称性 若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称． 一．自测 1． (课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 2． (2011·广东)设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________. 3． 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是________． 4． (2011·大纲全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝________. 二．典型例题 题型一　判断函数的奇偶性 1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \r(9－x2)＋eq \r(x2－9)； (2)f(x)＝(x＋1) eq \r(\f(1－x,1＋x))； (3)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3). 变式.下列函数： ①f(x)＝x3－x；②f(x)＝ln(x＋eq \r(x2＋1))；③f(x)＝eq \f(3x－3－x,2)；④f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x). 其中奇函数的个数是________． 题型二　函数的奇偶性与周期性 2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)． 变式。已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－eq \f(1,f?x?)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________. 课后作业 一、填空题 1． (2012·天津改编)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为________． ①y＝cos 2x，x∈R ②y＝log2|x|，x∈R且x≠0 ③y＝eq \f(ex－e－x,2)，x∈R ④y＝x3＋1，x∈R 2． (2011·辽宁改编)若函数f(x)＝eq \f(x,?2x＋1??x－a?)为奇函数，则a＝________. 3． 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x) (x∈R)是偶函数，则实数a＝________. 4． 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________. 5． 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝eq \f(1,f?x?)，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________. 6． 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝______. 7． (2011·安徽改编)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________. 8． (2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 9． 设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝eq \f(2a－3,a＋