次方程解法.docVIP

[编辑本段] 三次方程的其他解法 　　除了上文中的卡尔丹公式，三次方程还有其它解法，列举如下： 　　 1.因式分解法 　　因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0 　　对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1. 　　 2.另一种换元法 　　对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化简，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x. 　　 3.盛金公式 　　三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法． 　　一元三次方程aX＋bX＋cX＋d=0，（a，b，c，dR，且a≠0）。 　　重根判别式： 　　A=b－3ac； 　　B=bc－9ad； 　　C=c－3bd， 　　总判别式： 　　Δ=B－4AC。 　　当A=B=0时，盛金公式（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula）： 　　X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 　　当Δ=B－4AC0时，盛金公式（WhenΔ=B－4AC0，Shengjin’s Formula）： 　　X1=(－b－(Y11/3＋Y21/3))/(3a)； 　　X2，3=(－2b＋Y11/3＋Y21/3±31/2 (Y11/3－Y21/3)i)/(6a)； 　　其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。 　　当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式（WhenΔ=B2－4AC =0，Shengjin’s Formula）： 　　X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，　 　　其中K=B/A，(A≠0)。 　　当Δ=B2－4AC0时，盛金公式（WhenΔ=B2－4AC0，Shengjin’s Formula）： 　　X1= (－b－2A1/2cos(θ/3) )/(3a)； 　　X2，3= (－b＋A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)； 　　其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A0，－1T1)。 　　盛金判别法 　　Shengjin’s Distinguishing Means 　　：当A=B=0时，方程有一个三重实根； 　　：当Δ=B2－4AC0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； 　　：当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； 　　：当Δ=B2－4AC0时，方程有三个不相等的实根。 　　盛金定理 　　Shengjin’s Theorems 　　当b=0，c=0时，盛金公式无意义；当A=0时，盛金公式无意义；当A≤0时，盛金公式无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式无意义。 　　当b=0，c=0时，盛金公式是否成立？盛金公式与盛金公式是否存在A≤0的值？盛金公式是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答： 　　盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式仍成立）。 　　盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式解题）。 　　盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式解题）。 　　盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式解题）。 　　盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式解题）。 　　盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式解题）。 　　盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式解题）。 　　盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式解题）。 　　盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。 　　显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。 　　注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。 　　盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。 　　当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not