有限元理论与方法讲.docVIP

讲 授 内 容 备 注 第13讲(第13周) 结构动力学问题有限元法Fi +Fd +P(t)=Fe (2-2-1) 式中：Fi、Fd、P(t)分别为惯性力、阻尼力和动力荷载，均为向量；Fe为弹性力。 弹性力向量可用节点位移δ和刚度矩阵K表示如下 Fe =K δ 式中：刚度矩阵K的元素Kij为节点j的单位位移在节点i引起的弹性力。 根据达朗贝尔原理，可利用质量矩阵M和节点加速度表示惯性力如下 式中：质量矩阵的元素Mij为节点j的单位加速度在节点i引起的惯性力。 设结构具有粘滞阻尼，可用阻尼矩阵C和节点速度表示阻尼力如下 式中：阻尼矩阵的元素Cij为节点j的单位速度在节点i引起的阻尼力。 将各力代入式(2-2-1)，得到运动方程如下 (2-2-2) 记 ， 则运动方程可写成 (2-2-3) 在地震时，设地面加速度为a，结构相对于地面的加速度为，结构各节点的实际加速度等于a+，在计算惯性力时须用它代替式(2-2-3)中的。至于弹性力和阻尼力，则分别取决于结构的应变和应变速率，即取决于位移和速度，与地面加速度无关。 质量矩阵 下面用m表示单元质量矩阵，M表示整体质量矩阵。求出单元质量矩阵后，进行适当的组合即可得到整体质量矩阵。组合方法与由单元刚度矩阵求整体刚度矩阵时相似。 在动力计算中可采用两种质量矩阵，即协调质量矩阵和集中质量矩阵。 1.协调质量矩阵 从运动的结构中取出一个微小部分，根据达朗贝尔原理，在它的单位体积上作用的惯性力为 式中：ρ为材料的密度。 在对结构进行离散化以后，取出一个单元，并采用如下形式的位移函数 则 再利用荷载移置的一般公式求得作用于单元节点上的惯性力为 即 可见，单元质量矩阵为 (2-2-4) 如此计算单元质量矩阵，单元的动能和位能是互相协调的，因此叫做协调质量矩阵。 2.集中质量矩阵 假定单元的质量集中在它的节点上，质量的平移和转动可同样处理。这样得到的质量矩阵是对角线矩阵。 单元集中质量矩阵定义如下： (2-2-5) 式中，为函数的矩阵，在分配给节点i的区域内取l，在域外取0。 由于分配给各节点的区域不能交错，所以由上式计算的质量矩阵是对角线的。 3.平面等应变三角形单元集中质量矩阵与协调质量矩阵 设单元重量为W，将它3等分，分配给每一节点，得到单元集中质量矩阵如下 (2-2-6) 单元协调质量矩阵为 (2-2-7) 在单元数目相同的条件下，两种质量矩阵给出的计算精度是相差不多的。集中质量矩阵不但本身易于计算，而且由于它是对角线矩阵，可使动力计算简化很多。对于某些问题，如梁、板、壳等。由于可省去转动惯性项，运动方程的自由度数量可显著减少。当采用高次单元时，推导集中质量矩阵是困难的。另外，只要离散化时保持了单元之间的连续性，由协调质量矩阵算得的频率代表结构真实自振频率的上限。 阻尼矩阵 如前所述，结构的质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]是由单元质量矩阵[m]和单元刚度矩阵[M]e经过集合而建立起来的。相对来说，阻尼问题比较复杂，结构的阻尼矩阵[C]不是由单元阻尼矩阵经过集合而得到的，而是根据已有的实测资料，由振动过程中结构整体的能量消耗来决定阻尼矩阵的近似值。 1.单自由度体系的阻尼 单自由度体系的自由振动方程为 式中：m为质量；c为阻尼系数；k为刚度系数；δ为变位。 上式两边除以m后得到 其中，，，ζ称为阻尼比，ω为体系的自振频率（角频率）。 设初始条件为：当t＝0时，δ＝δ0，＝，符合这些初始条件的解为 (2-2-8) 体系的自振频率为ωd，其振幅随着时间而逐渐衰减。 根据实测资料，大多数结构的阻尼比都是很小的数，较多为ζ=0.01～0.10，一般都小于0.20。可见，阻尼对自振频率的影响是很小的，通常可取ωd＝ω。 2.多自由度体系的阻尼 如果假定阻尼力正比于质点运动速度，从运动的结构中取出一微小部分，在它的单位体积上作用的阻尼力为 式中：α为比例常数；ρ为材料密度；N为形函数。 利用荷载移置的一般公式求得作用于单元e的节点上的阻尼力如下 即 而 (2-2-9) 可见，此时单元阻尼矩阵正比于单元质量矩阵。如果假定阻尼力正比于应变速度，则阻尼应力可表为 所以作用于单元e的节点上的阻尼力为 其中 (2-2-10) 可见，此时单元阻尼矩阵正比于单元刚度矩阵K