复变函数课件..pptVIP

练习 2 复变函数极限与连续性 复平面点集的几个基本定理(了解) 定理1.4 (Bolzano-Weierstrass)聚点定理 每一个有界无穷点集,至少有一个聚点 定理1.5(Conton闭集套定理) 复平面点集的几个基本定理 定理1.6(Heine-Borel定理) 小结与思考 作业: 第43页 10(1) (3), 11(1)(3) 13 14 15 17 * 特例 (1) 有理整函数(多项式) (2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的. * 下页 返回 上页 * 定理1.3 例如, * 下页 返回 上页 例5 试证：f(z)在原点无极限，从而在原点不连续 证： * 下页 返回 上页 * 例6 证 * 下页 返回 上页 注 关于实变连续的函数的一些其它性质也可以推广到复变函数来： 如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、取到极大模和极小模等）。 * 下页 返回 上页 有界闭集上连续函数的性质 定理1.7 设E是有界闭集，f (z)??C (E),则有： （1） f (z)在E上有界： ?M0 ??z ?E |f (z)|M （2） |f (z)|在E上有最值. 即： ? z1 , z2? E? ? z? E | f ( z )| |f ( z1)| ,| f ( z )| | f ( z2 )| （3） f(z)在E上一致连续.即 ??0, ??0 当z1, z2?E且|z1- z2|? ?有|f(z1)-f(z2)|? * 下页 返回 上页 练习 * 下页 返回 上页 * 下页 返回 上页 * 下页 返回 上页 2. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质. 1. 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点. 思考题 “函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？ * 下页 返回 上页 * * 第三节 复变函数 1、复变函数的概念 2、复变函数的极限与连续性 第一章 下页 返回 上页 复变函数的定义: 1 复变函数 下页 返回 上页 单(多)值函数的定义: 定义域和值域: 下页 返回 上页 复变函数与自变量之间的关系: 例如, 下页 返回 上页 变换或映射的定义: 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 且是全同图形. 下页 返回 上页 解 仍是扇形域. 例2 下页 返回 上页 解 还是线段. 下页 返回 上页 解 下页 返回 上页 根据复数的乘法公式可知, 下页 返回 上页 (如下页图) 下页 返回 上页 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形. 下页 返回 上页 下页 返回 上页 例3 解 下页 返回 上页 所以象的参数方程为 下页 返回 上页 复变函数的极限定义 注意: 下页 返回 上页 几何意义: x y O z0 d z O u v ω0 e f(z) 下页 返回 上页 极限的四则运算 与实变函数的极限运算法则类似. 下页 返回 上页 定理1.2 证 根据极限的定义 (1) 必要性. 下页 返回 上页 (2) 充分性. 下页 返回 上页 [证毕] 说明 下页 返回 上页 例4 证： 下页 返回 上页 根据定理1.2可知, 下页 返回 上页 * 证 (二) 下页 返回 上页 * 练习 下页 返回 上页 * 证 根据定理1.2可知, 下页 返回 上页 * 连续的定义: 下页 返回 上页 连续的三要素: * 连续的四则运算 复合函数的连续性 下页 返回 上页