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* * 第十三章 向量函数的积分 §13.1 第二型曲线积分 1o 向量场 (1) 场 分布有某物理量的区域称为在该区域中 确定了该物理量的一个场 (2) 向量场 当涉及的物理量具有向量的特征时, 此时的场称为向量场 向量场举例 1) 质量为 M 的质点置于原点所产生的引力场 质点 M 对位于 ( x , y , z ) 点处单位质点的引力: 2) 梯度场 设 u = f (x , y , z) , 则 是向量场 , 称为 梯度场 , f (x , y , z) 称为梯度场 的势函数 , 有势函数的向量场称为有势场 引力场: 引力场是函数 形成的梯度场 是此引力场的势函数 引力场是有势场 ( 保守场 ) 3) 流速场 当流体在某区域流动时 , 流体的流动 速度 在该区域内形成一流速场 若速度 与时间 t 无关 , 称为稳定流场 若速度 与时间 t 有关 , 称为不稳定流场 一般地 , 场中的物理量除与位置有关之外还和 时间有关 , 这种场称为不稳定场 ( 或时变场 ) , 而 与时间无关的场称为稳定场 向量场的表示: 连续向量场: 向量场的各个分量函数都是连续函数 可微向量场: 向量场的各个分量函数都是可微函数 2o 第二型曲线积分 在曲线 L 上插入分点: 将 L 划分成 n 个有向弧段 : 问题： 设有平面力场 计算平面质点 M 受力 作用 , 沿曲线 L 从 A 点运动到 B 点力 所作的功 记每一小弧段 上力所作的功为 , 则 当 充分小时 , 在 上近似不变 任取 记 ( )} 则有 若记 定义: 设 L 是一光滑 ( 或分段光滑 ) 的平面有向曲线 , 在 L 上有定义且有界 ( 每个分量有界 ) 设沿着曲线从 A 到 B 的移动方向为曲线的正方向 沿着曲线 L 的正方向依次插入分点: 将 L 任意划分成 n 个有向小弧段 : 记 ( )} 任取 如果极限 其值 A 与划分无关 , 与 的选取无关 , 则称 沿有向曲线 L 从 A 到 B 点关于坐标可积 , 第二型曲线积分 , 极限值 A 称为 沿有向曲线 L 从 A 到 B 点的 记作 , 即 也就是 ( 对坐标的曲线积分 ) 可知: 是大小为 ds , 方向与 L 的正向一致的曲线 L 的切向量 ( 称为有向曲线的切向量 ) P (x , y ) , Q (x , y )称为被积函数 ; L 称为积分路径 ; 说明: 称为被积表达式 ; 称为第二型曲线积分的向量形式 ; 称为第二型曲线积分的坐标形式 (1) 第一与第二型曲线积分的区别 : (a) 第一型曲线积分是数量函数 f (x , y ) 在曲线 L 上 的积分 ,第二型是向量场 在曲线 L 的积分 (b) 第一型曲线积分与曲线 L 的方向无关 , 而第二型 曲线积分与曲线 L 的方向有关 (2) 平面质点 M 受力 作用 , 沿曲线 L 从 A 点运动到 B 点力 所作的功 空间第二型曲线积分 设 L 是一光滑 ( 或分段光滑 ) 的从 A 点到 B 点 的空间有向曲线 , 空间向量场 沿空间有向曲线 L 从 A 点到 B 点的第二 型空间曲线积分定义为 ( )} 其中 是任取的 , 且对 L 的划分 是任意的 , 可见: 是大小为 ds , 方向与 L 的正向一致的曲线 L 的切向量 ( 称为有向曲线的切向量 ) 3o 第二型曲线积分的基本性质 (1) 可积的充分条件 若 在 L 上连续 , 则 沿 L 的第二型曲线积分 存在 (2) 线性运算性质 设 沿 L 关于坐标可积 , 则对任意实数 k1 , k2 , 沿 L 也关于坐标可积 , 且 (3) 区域可加性 也可积 , 且 设 沿 L1 , L2 关于坐